程序员的数学（二）—— 逻辑，真与假的二元世界

一、逻辑的基本思路

1、什么是逻辑？

逻辑是消除自然语言的歧义、严密准确的记述事物的工具。

2、命题及其真假

能够判断对错的陈述句，叫做命题。

命题正确时，称该命题为“真”

命题不正确时，称该命题为“假”

3、兼顾完整性和排他性

具备完整性，说明该规则无论在什么情况下都适用；

具备排他性，说明该规则不存在矛盾之处。

if语句的条件分支，体现了“兼顾完整性和排他性的分解”。

二、建立复杂命题

1、逻辑非 —— 不是A

“不是......”的命题运算称作非，英语中用not表示，假设某命题为A，则A的逻辑非表达式写作：

        ﹁ A（not A）

● 命题A为true时，命题﹁ A为false，命题﹁ ﹁ A为true

● 命题A为false时，命题﹁ A为true，命题﹁ ﹁ A为false

2、逻辑与 —— A并且B

“A并且B”的命题称作逻辑与，英语中用and表示，命题“A并且B”用逻辑表达式写作：

        A∧B（A and B）

● 仅当A和B都为true时，A∧B才为true

3、逻辑或 —— A或者B

“A或者B”的命题运算称作逻辑或，英语中用or表示，命题“A或者B”用逻辑表达式写作：

        A∨B（A or B）

● A和B至少有一个为true时，才为true

● 当A和B都为false时，才为false

4、异或 —— A或者B（但不是都满足）

“A或者B（但不是都满足）”的运算称作异或，英语中称作exclusive or，它和逻辑或相似，但是在A和B都为true或者false的情况下有所不同，它的逻辑表达式写作：

        A⊕B

● 当A和B不同时，才为true

5、相等 —— A和B相等

它的逻辑表达式写作：

        A=B

● 当A和B都为true时，A=B为true

● 当A和B都为false时，A=B为true

三、德●摩根定律

1、什么是摩根定律？

（﹁ A）∨（﹁ B）=﹁ （A∧B）：“非A”或者“非B”和非“A与B”是等价的

（﹁ A）∧（﹁ B）=﹁ （A∨B）：“非A”并且“非B”和非“A或B”是等价的

2、对偶性

在逻辑表达式中分别将true和false、A和﹁ A、∧和∨进行互换，就能得到该逻辑表达式的否定式。如下：

true    ←→    false

A        ←→    ﹁ A

∧        ←→    ∨

它们相互成对，这称作逻辑表达式的对偶性。

四、包含未定义的逻辑

        程序经常会因为发生错误，导致退出、崩溃等，得不到true和false中的任意一个值，为了能表示这种得不到的值的情况，又新引入了一个undefined的值。即true、false、undefined三值逻辑。

1、带条件的逻辑与（&&）

它使用运算符&&，将A和B的带条件的逻辑与表示为：A&&B

● 不包含undefined的行，A&&B与和A ∧ B相等；

● A为true时，A&&B与B相等；

● A为false时，A&&B恒为false；

● A为undefined时，A&&B恒为undefined。

在判断A与B的真假值时，应根据条件A看是否需要看B，因此称为带条件的逻辑与。

2、带条件的逻辑或（||）

它使用运算符||，将A和B的带条件的逻辑或表示为：A||B

● 不包含undefined时，A||B与A ∨ 相等；

● A为true时，A||B恒为true；

● A为false时，A||B与B相等；

● A为undefined时，A||B恒为undefined。

3、三值逻辑中的否定（！）

它的否定式写作：!A

● 不包含undefined时，！A和﹁ A相等；

● 若A为undefined时，！A恒为undefined。

4、三值逻辑的摩根定律

（！A）||（！B）=！（A&&B）

（！A）&&（！B）=！（A||B）