直通BAT--卡特兰数详解

1.关于卡特兰数

     卡特兰数是一种经典的组合数，经常出现在各种计算中，其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

2.卡特兰数的一般公式

     卡特兰数满足以下性质：令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式。h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)。也就是说，如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数。当然，上面这样的递推公式太繁琐了，于是数学家们又求出了可以快速计算的通项公式。h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)。这个公式还可以更简单得化为 h(n)=C(2n,n)/(n+1)。

3.高矮排列:

     12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？

问题分析:

     我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排.用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,就对应一种方案。

比如：000000111111就对应着

第一排：0 1 2 3 4 5

第二排：6 7 8 9 10 11

比如：010101010101就对应着

第一排：0 2 4 6 8 10

第二排：1 3 5 7 9 11

问题转换为：这样的满足条件的01序列有多少个。

观察1的出现，我们考虑这一个出现能不能放在第二排。显然，在这个1之前出现的那些0,1对应的人要么是在这个1左边，要么是在这个1前面。而肯定要有一个0的，在这个1前面，统计在这个1之前的0和1的个数。也就是要求，0的个数大于1的个数。

总结：

     如果把0看成入栈操作，1看成出栈操作，就是说给定6个元素，合法的入栈出栈序列有多少个。这就是catalan数,这里只是用于栈，等价地描述还有，二叉树的枚举、多边形分成三角形的个数、圆括弧插入公式中的方法数，其通项是c(2n, n)/(n+1)。

证明:

     问题大意是用S表示入栈，X表示出栈，那么合法的序列有多少个(S的个数为n)？显然有c(2n, n)个含S，X各n个的序列，剩下的是计算不允许的序列数(它包含正确个数的S和X，但是违背其它条件)。

     在任何不允许的序列中，定出使得X的个数超过S的个数的第一个X的位置。然后在导致并包括这个X的之前部分序列中，以S代替所有的X并以X代表所有的S。结果是一个有(n+1)个S和(n-1)个X的序列。反过来，对一种类型的每个序列，我们都能逆转这个过程，而且找出导致它的前一种类型的不允许序列。例如XXSXSSSXXSSS必然来自SSXSXXXXXSSS。这个对应说明，不允许的序列的个数是c(2n, n-1)，因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1)。

     

验证：

     其中F表示前排，B表示后排，在枚举出前排的人之后，对应的就是后排的人了，然后再验证是不是满足后面的比前面对应的人高的要求。

#include

using namespace std;

int bit_cnt(int n)

{

     int result = 0;

     for (; n; n &= n-1, ++result);

     return result;

}

int main(void)

{

     int F[6], B[6];

     int i,j,k,state,ok,ans = 0;

     for (state = 0; state < (1 << 12); ++state)

     {

          if (bit_cnt(state) == 6)

          {

               i = j = 0;

               for (int k = 0; k < 12; ++k)

               {

                    if(state&(1<

                         F[i++] = k;

                    else

                         B[j++] = k;

               }

               ok = 1;

               for (k = 0; k < 6; ++k)

               {

                    if (B[k] < F[k])

                    {

                         ok = 0;

                         break;

                    }

               }

               ans += ok;

          }

     }

     cout << ans << endl;

     return 0;

}

结果：

     132

     c(12, 6)/7 = 12*11*10*9*8*7/(7*6*5*4*3*2) = 132

注意：c(2n, n)/(n+1) = c(2n, n) - c(2n, n-1)

4.棋子游戏

     有编号为1到n的若干个格子，从左到右排列。

     在某些格子中有一个棋子，不妨设第i格有棋子(1<=i<=k, 1<=k<=n)。

     每次一个人可以把一个棋子往左移若干步，但是不能跨越其它棋子，也要保证每个格子至多只有一个棋子。

     两个人轮流移动，移动不了的为输，问先手是不是有必胜策略。

5. 括号化问题

     一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。

          XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

     将X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数：

          ((())) ()(()) ()()() (())() (()())

6.多边行划分为三角形问题

     将一个凸多边形区域分成三角形区域(划分线不交叉)的方法数?

7.圆上连线问题

     在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

8.出栈次序问题

     一个栈(无穷大)的进栈序列为1、2、3、...、n，有多少个不同的出栈序列?

9.入场费问题

     有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

10.街区问题

     一位大城市的律师在他住所以北n个街区和以东n个街区处工作，每天她走2n个街区去上班。如果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

11.二叉树构成问题

     给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？

     分析：先取一个点作为顶点，然后左边依次可以取0至N-1个相对应的，右边是N-1到0个，两两配对相乘，就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ...... + h(n-1)h(0)=h(n)) （能构成h（N）个）

12.填数问题

     在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n)，不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。

     分析：

• 不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。
• 如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。
• 反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。
• 同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
• 因而不合要求的2n位数与n＋1个0，n－1个1组成的排列一一对应。