POJ - 1845 Sumdiv 【约数个数定理 + 约数和定理 + 快速幂 + 逆元】

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必备知识:

1 : 约数个数定理：
      任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。
      A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)   其中pi均为素数
2 :  约数和公式：
对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)
有A的所有因子之和为
    S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * 
    .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)
3 :  同余模公式：
(a+b)%m=(a%m+b%m)%m
(a*b)%m=(a%m*b%m)%m

//思路：有了以上知识, 那就比较简单了, 首先对A进行质因子分解, 那么A^B次方的因子和就是 res = (1+p1+p1^2+p1^3+…p1^k1*B) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2*B) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3*B) * …. * (1+pn+pn^2+pn^3+…pn^kn*B)
所以现在的关键就是求一个等比数列, 当然也比较简单, 就是一个求和公式, 但需要注意在求这个等比数列的和时, 我们可以看到涉及除法mod， 所以需要逆元, 还有就是分子有个减1, 所以有可能减出来是0(因为mod了的),就会导致最后答案是0(然分析可知, 最后应该是序列的长度, 也就是(幂+1) 的长度), 所以这个时候就需要分类讨论下, 即当质因子 p % mod == 1 时, 答案直接加上(幂+1).

AC Code

/** @Cain*/
#define ll long long int
const int mod = 9901;
ll A,B;
ll qpow(ll x,ll y)
{
    ll res = 1;
    while(y){
        if(y&1) res = res*x%mod;
        x = x*x%mod;
        y >>= 1;
    }
    return res;
}

ll getsum(ll n,ll m)  //求等比数列的前n项和.
{                           //要使用逆元.
    return (((qpow(n,m)-1)%mod*qpow(n-1,mod-2) %mod) + mod)%mod;
}

void solve()
{
    scanf("%lld%lld",&A,&B);
    ll res = 1;
    for(int i=2;i*i<=A;i++){
        int ans = 0;
        while(A%i==0){
            ans++;
            A/=i;
        }
        if(i % mod == 1) res = (res*(ans*B+1))%mod;   //如前面所说,不懂就写出来看看.
        else res = (res%mod * getsum(i,ans*B+1))%mod;  //否则就普通的算就是了.
    }
    if(A != 1){
        if(A % mod == 1) res = (res*(B+1))%mod;       //和前面一样.
        else res = (res%mod * getsum(A,B+1))%mod;
    }
    printf("%lld\n",res);
}