NOIP2016 组合数问题

题目大意：组合数 Cmn 表示的是从 n 个物品中选出 m 个物品的方案数。举个例子，从（1 , 2 , 3）三个物品中选择两个物品可以有( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) 这三种选择方法。根据组合数的定 义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

Cmn=n!m!(n−m)!

其中 n! = 1 × 2 × · · · × n。
小葱想知道如果给定 n , m 和 k，对于所有的 0 ≤ i ≤ n，0 ≤ j ≤ min ( i , m ) 有多少对 ( i , j ) 满足 Cji 是k的倍数。

第一行有两个整数 t , k，其中 t 代表该测试点总共有多少组测试数据。接下来 t 行，每行两个整数 n , m ( 1 ≤ n , m ≤ 2000 , 1 ≤ t ≤ 104 , 2 ≤ k ≤ 21 )。n , m , k 的意义见题目描述。

题目分析：
这道题数据范围特别小，基本上属于暴力出答案。
首先，我们预处理出每一个 Cjimodk 的值，可以由杨辉三角形的性质求出所有的值。同时，建立一个新数组判断这个位置对应的总合法数量（根据模 k 是否等于 0 判断每一个单独的 ( i , j )，之后和前面的加起来统计在一起，统计的方式可以自己想，很简单的）。最后 O(1) 查询并输出答案。

下面附上代码：

#include
const int MX = 2005;

int n,m,T,k,C[MX][MX],dv[MX][MX],column[MX];
//dv:符合条件的总方案数    column:某个时刻，每一列的合法数

void preprocess(){
    C[0][0] = 1;
    for (int i = 1;i <= 2000;i++)
        C[i][0] = 1;
    for (int i = 1;i <= 2000;i++){
        for (int j = 1;j <= i;j++){
            C[i][j] = (C[i - 1][j]+C[i - 1][j - 1])%k;
            if (C[i][j] == 0){
                column[j]++;
            }
            dv[i][j] = dv[i][j - 1]+column[j];

        }
    }
}

int main(){
    scanf(”%d%d”,&T,&k);
    preprocess();
    while (T–){
        scanf(”%d%d”,&n,&m);
        if (m > n)
            m = n;
        printf(”%d\n”,dv[n][m]);
    }
    return 0;
}