UOJ394 NOI2018 冒泡排序

Problem

UOJ

Solution

对于排列中的一个数，如果它前面有 $k$ 个大于它的数，那么它一定会向前走 $k$ 步，而这每一步都不能冗余才能达到下界，因此一个数的前面要么全都比它小，要么所有比它小的数都出现了在它的前面。

然后画画图，发现这其实等价于序列的最长下降子序列长度不超过2。这样我们就可以设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个数最大值为 $j$ 的合法方案数，则我们每次仅能选取比 $j$ 大的数或者未填的最小值，即可以转移至 $f[i+1][j\cdots n]$。当然 $j=i$ 时不能转移至 $f[i+1][j]$。把它画在坐标系上，则所有状态都在 $y=x$ 上方的上三角中，然后你会发现 $f[i][j]$ 表示的其实就是 $(i,j)$ 走到 $(n,n)$ 且不跨越 $y=x$ 的方案数。

而对于字典序的限制，我们可以枚举给定序列的一个前缀，使某一位字典序大于即可，即相当于 $(i,mx+1),(i,mx+2)\cdots$ 都是可行的开始点，这又相当于是起始点为 $(i-1,mx+1)$ 。记 $lim=mx+1$，它关于 $y=x-1$ 的对称点为 $(lim+1,i-2)$，用组合数减一下可以算出它的贡献

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-i-lim+1}{n-i+1}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-i-lim+1}{n-i+2}\right)$$

时间复杂度 $O(\sum n)$。

Code

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1200000,maxn=1200010,mod=998244353;
template <typename Tp> inline int getmin(Tp &x,Tp y){return y<x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline int getmax(Tp &x,Tp y){return y>x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline void read(Tp &x)
{
    x=0;int f=0;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
    if(ch=='-') f=1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(f) x=-x;
}
int z,n,mn,mx,y,dfc,ans,a[maxn],fac[maxn],inv[maxn],vis[maxn];
int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
int pls(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int dec(int x,int y){return x<y?x-y+mod:x-y;}
int c(int n,int m){return m>n?0:(ll)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}
int power(int x,int y)
{
	int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)
	  if(y&1)
	    res=(ll)res*x%mod;
	return res;
}
int main()
{
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=N;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
	inv[N]=power(fac[N],mod-2);
	for(int i=N-1;~i;i--) inv[i]=(ll)inv[i+1]*(i+1)%mod;
	read(z);
	while(z--)
	{
		read(n);ans=mx=0;mn=1;++dfc;
		for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			vis[a[i]]=dfc;y=max(mx,a[i])+1;
			if(y<=n) ans=pls(ans,dec(c(n+n-y-i+1,n-i+1),c(n+n-y-i+1,n-i+2)));
			if(a[i]>mx) mx=a[i];
			else if(a[i]!=mn) break;
			while(vis[mn]==dfc) ++mn;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}