运筹优化（八）--图与网络优化

关于图的基本概念

图论（一）--基础概念

图论（二）--各种图介绍

图论（三）--各种基础图算法总结

关于树的基本概念

1．树的概念

一个无圈并且连通的无向图称为树图或简称为树（Tree）。

图1是一个连通图，图2中的两个图都是树。

如在有线通讯网和交通网中，在保证节点连通的条件下，边数最少（可以节省材料和投资）的线路图必然是树。

图1

一些行政管理机构和军队的建制也常用树来表示相互隶属关系；图书分类、会计科目、决策过程等等也都可以画成树图。

部分树：在一个连通图中G中，取部分边连接G的所有顶点组成的树称为部分树。

如图2中（a）、（b）都是图1的部分树。

2．树图的性质

树中的边称为树枝，次数为1的顶点称为树叶。树图具有以下性质：

（1）任何树必有树叶，即次数为1的节点。

（2）树是无回路的连通图，因而树中任意两点之间有、且仅有一条链连接相通，任意去掉一条树枝，该树就被分割成两互不连通的子图。

（3）树的任意两个顶点之间添加一条边（称为连枝），就构成一个回路。仅用一条连枝构成的回路称为单连枝回路，也称为基本回路。

（4）一个连通图具有很多树，这些树都是原连通图的部分图，即包括了原连通图的所有顶点。若原连通图有N个顶点，M条边，则树枝数为（N-1），连枝数则为C=M -（N-1）=M-N+1，因为一条连枝构成一个基本回路，所以基本回路个数也就是C。

（5）连枝的集合是原连通图相应的余树，或称为补树。余树可能是树，也可能不是树，甚至可能是非连通图。

关于最短路径问题

最短路径问题在实际中有广泛的应用，如管道铺设、线路选择等问题，还有些如设备更新、投资等问题也可以用网络最短路径算法得到解决，而且解法简单、有效。

赋权图1中的边有方向，表明路线只能沿着箭头方向行走，权表示vi到vj的距离（费用或时间），假设要求从v1到v7修一条公路，如何选择一条路线使距离最短?

从v1到v7的路线是很多的，如路线（v1，v2，v5， v4，v7），也可选择路线（v1，v3，v6，v7）等等。不同的路线，总距离是不同的，如前一路线，总距离是7＋8＋1＋2＝18单位。而按后一路线，总距离是1＋3＋7＝11单位。实际上，从v1到v7的路线与有向图中从v1到v7的路是一一对应的。现在的问题是，从v1到v7的众多路线中，如何选一条最短的路。

最短路算法的原理：若从起点v1到终点v7的最短路经过v3、v4，则从v1到终点v7的最短路是｛v1，v3，v4，v7｝，同时v1到点v3的最短路一定是｛v1，v3｝，而v1到v4的最短路是｛v1，v3,v4｝。即如果P是D中从vs到vj的最短路，vi是p中的一个点，那么从vs到vj的路也必是从vs到vi的最短路。

关于网络流量问题

研究网络通过的流量也是生产和管理工作中常遇到的现实问题。例如：交通网络中车辆的最大通过能力；生产流水线上产品的最大加工能力；供水网络中通过的最大水流量；信息网络中信息的最大传输能力等等。这类网络的组成弧都具有确定的通过能力称为弧的容量（capacity），记为cij；而实际通过弧的流量（flux），记为fij，因各弧容量的配置关系可能不协调，有些弧的流量常常达不到容量值。因此，研究实际能通过网络的最大流量问题，可以充分发挥网络的设备能力，并且能明确为使最大流量增大应如何改造网络。

1．容量网络

在研究网络最大流问题时，首先应给出各弧的通过能力，各弧的权数表示弧的容量。容量是弧（i，j）在单位时间内的最大通过能力，流量则是弧（i，j）在单位时间内的实际通过量。标有弧容量cij的网络称为容量网络，如图1所示。

2．网络流

在容量网络中，实际通过各弧的流量集F={fij}称为网络流，如图1。由于各弧容量的配置可能不协调，实际通过各弧的流量fij不可能处处都达到容量值cij。

3．可行流

对于给定的容量网络，如果满足下列容量约束和节点流量平衡条件，则该网络流称为可行流。以图1为例，这两个条件可用以下公式来描述：

图1容量网络

（1） 容量约束条件：0≤fij≤cij。 对图1有：0≤f12≤70，0≤f13≤100，0≤f14≤90，0≤f26≤80，0≤f34≤40，0≤f35≤50，0≤f45≤40，0≤f46≤100，0≤f56≤90。

（2）节点流量平衡条件：每个节点的流入总量等于流出总量。v1： Q=f12+f13+f14，v2： f12=f26，v3：f13=f34+f35，v4：f14+f34=f45+f46，v5： f35+f45=f56，V6: f26+f46+f56=Q

可行流总是存在的，如零流{fij=0}就是一个可行流，即容量网络没有给出流量fij时，就认为fij=0。

4．最大流：

容量网络的最大流就是使得从网络起点（或称发点）到终点（或称收点）的总流量Q达到最大的可行流F= {fij} 。

最大流问题用线性规划模型表示如下：式中s为发点，t为收点。

一个可行流相当于线性规划中的一个可行解，而寻求最大流就相当于求解这个线性规划数模的最优解，不过，网络最大流问题采用网络模型方法求解比用线性规划方法求解简便、直观。

5．增广链 

图2(a)给出了一个容量网络{cij, fij}，其中{fij}为可行流，并且

（1）正（前）向弧：与从起点→终点方向一致的弧。

（2）反（后）向弧：与从起点→终点方向相反的弧。

（3）增广链定义：一条从起点到终点的链，且其正向弧必须是非饱和弧，反向弧必须是非零弧。即：正向饱和弧和反向零弧均不构成增广链的弧。

正向非饱和弧充许增大流量，反向非零弧，允许减小流量（维持节点流量平衡）。

例如： 对图2(a)的容量网络和给定的可行流，按上述定义寻找增广链，可找到一条如图2(b)的增广链 L={v1,v3,v2,v4,v6}。其中：正向弧集 L＋＝{(v1,v3),(v2,v4),(v4,v6)}均为非饱和弧。反向弧集 L－＝{v2,v3}为非零弧。

在增广链上存在增大输送能力的潜力。如图2(b)，对所有正向弧增加流量1个单位，对所有反向弧减少流量1个单位，也就是说，增广链方向调整1个单位流量，其他弧上的流量不变，这时得到的新网络流仍是可行流，但总流量Q增加了1个单位。因此，可以利用增广链来调整给定的当前可行流，以求得最大流。若当前可行流F不存在增广链，那么它就不能再调整增大，可断定它就是最大流F*。另外，对图2(a)还可找出其它增广链，说明当网络流非最大时，往往存在多条增广链。

（4）网络可行流为网络最大流的判别方法

检查该网络可行流是否存在增广链，若不存在，则当前可行流为最大流；否则，当前可行流为非最大流，总流量还可增大。

6．割集

割集就是研究网络流“瓶颈”的一种工具。

（1）割集的概念：连通图的一个割集，是使图分成两个互不连通子图的边的最小集合，记为S={(vi,,vj)}。显然，一个连通图的割集不止一个，如图3就作出了3个割集s1,s2,s3,。

    s1={(v1,v2),(v1,v3)},其容量为C1=3+5=8。

    s2={(v1,v2),(v3,v5)},其容量为C2=3+2=5, s2割了三条弧，但（v2,v3）不入割集，因为只要把与v1→v6同方向的弧(v1,v2),(v3,v5)割断，由起点到终点的通路就断了。

S3={(v2,v4),(v3,v5)}，其容量为C3=4+2=6。

一般地，割集记为,其中（始点在V1内，而终点在内），容量记为。

如图1中构成割集S2的两个点集，始点在V内，而终点在内的只有两条弧{(v1,v2),(v3,v5)}。

结论：

（1）任一可行流的流量Q都不会超过任一割集的流量，即：Q≤。

（2）最小割集（最小割）：所有割集中容量最小的割集。最小割的容量记为。实际流F的流量Q（F）≤。

（3） 最大流——最小割定理：实际流F所能达到的最大流量Q(F*)等于最小割的容量。即：

最后，实际上，这里应该有一步介绍网络计划与网络计划优化，但是，发现它讲的就是项目管理中的进度管理工具，如关键路径法，还有单代号，双代号网络图，时标网络图等等，这也是图网络技术对工程管理的贡献，这里就不再啰嗦了。