斯特林数 Stirling

【组合数学】

第二类斯特林数（更加常用）

定义：把n个元素划分成m个非空集合的方案数。

递推式：S2[n][m]=S2[n-1][m-1]+m*S2[n-1][m]

①前n-1个球放在前m-1个盒子里，第n个球单独放一个盒子；②前n-1个球放在m个盒子里有S2[n-1][m]种放法，第n个球可以放进m个盒子中的任意一个，又有m种放法

这里的斯特林数表的递推式为：

f[n+1][m]=f[n][m−1]+m∗f[n][m] f [ n + 1 ] [ m ] = f [ n ] [ m − 1 ] + m ∗ f [ n ] [ m ]

代码：

void Stirling2(int n,int m){
    for(int i=1;i<=n;i++)S2[i][1]=1;
    //这里一定要初始化
    //它表示如果只有一个盒子，那么无论有多少个球都只有一种放法
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i && j<=m;j++)
            S2[i][j]=S2[i-1][j-1]+j*S2[i-1][j];
}

BELL数

定义：把n个元素划分成若干个非空集合的方案数。

把n个元素划分成1个集合、2个集合…n个集合，其实就是S2[n][1]+S2[n][2]+…+S2[n][n].

第一类斯特林数

定义：把n个元素划分成m个非空循环排列集合的方案数。

递推式：S1[n][m]=S1[n-1][m-1]-(n-1)*S1[n-1][m];（可能存在负数的情况）

这个可以理解为亲戚朋友一起去吃酒席。
①前n-1个人被安排在前m-1张桌子上，第n个人单独占一张桌子；②前n-1个人被安排在m张桌子上，已经有n-1个人入席，那么第n个人的座位有n-1种选择（他可以选择坐在任意一个人的左边）。

这里的递推式为：

f[n+1][m]=f[n][m−1]−n∗f[n][m] f [ n + 1 ] [ m ] = f [ n ] [ m − 1 ] − n ∗ f [ n ] [ m ]

无符号斯特林数为 abs(f[i][j]) a b s ( f [ i ] [ j ] ) ，在实际计算的过程中不能取 abs a b s

代码：

//我觉得第一类的代码比第二类的还好些一些
void Stirling1(int n,int m){
    S1[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i && j<=m;j++)
            S1[i][j]=S[i-1][j-1]+(i-1)*S[i-1][j];
}