信号处理--FFT/DTFT/DFT

前言

 信号处理一个重要的关系就是时域与频域的关系，本专题为：信号处理的频域处理。

本文主要讲述信号从时域连续信号到数字信号的变化，以及对应的频域关系，内容较为基础，公式不作具体推导。

更多详细的理论以及对应MATLAB代码，可以参考另一篇博文。

理论分析

（图1 信号的时频对应关系）

　　A.傅里叶变换（FFT）

由图1（a）可以看出，连续非周期时域连续信号，对应频域信号仍然是连续信号。

对应的变换关系为：

时域——>频域

F(ω)=∫+∞−∞f(t)e−jωtdtF(ω)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt 

频域——>频域

f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)ejωtdtf(t)=12π∫−∞+∞F(ω)ejωtdt 

图1（b）为傅里叶级数，此处不作描述。

 

　　B.离散时间傅里叶变换(DTFT)

图1（c）表示对图1（a）在时域上进行采样，得到时域的离散信号，对应的频域信号仍然是连续信号，并且是以采样率为周期的周期信号。

对应的变换关系为：

时域——>频域

F(ejω)=∑+∞−∞f(n)e−jωnF(ejω)=∑−∞+∞f(n)e−jωn

频域——>时域

f(n)=12π∑+π−πF(ejω)ejωnf(n)=12π∑−π+πF(ejω)ejωn

 

　　C.离散傅里叶变换（FFT）

图1（d）表述对图1（c）在频域上进行采样，得到的时域离散信号，对应的频域也变为离散信号。

对应的变换关系为：

时域——>频域

 F(k)=∑N−1n=0f(n)e−j2πknNF(k)=∑n=0N−1f(n)e−j2πknN  

频域——>时域

 f(n)=1N∑N−1k=0F(k)ej2πknNf(n)=1N∑k=0N−1F(k)ej2πknN 

 

三种变换的关系总结一下，关系如图2所示。至于FFT，是DFT的蝶形运算，本质相同，仅仅是运算不同，这里只是分析信号变换的对应关系，FFT的原理不作讨论。

（图2 三种变换的对应关系）