2019-2-28 杂题选讲

2018-2-28 杂题选讲

T1 题面

考虑将1至N × M分别填入一个拥有N行M列的表格中，不允许重复。
你需要满足以下要求：
• 第i行(1≤ i ≤ N)的最大值为Ai。
• 第j列(1≤ j ≤ M)的最大值为Bj。
请求出合法的填数方案数在模109+7意义下的值。
• 1 ≤ N, M ≤ 1000
• 1 ≤ Ai， Bj ≤ N × M

思路

分步（填数）问题符合乘法原理，考虑从大到小填数，先填大数承包一行（列）的最大值可保证后填的数不受到影响。
一个数两次以上出现则无解。
一个数出现一个，说明它只能填在限定的行（列），并且满足它的列（行）已经被更大的数覆盖。
一个数没有出现过，类似，填在已经覆盖的格中。
提交记录

#include
#define N 1010
#define MOD 1000000007
using namespace std;
int n,m,a[N],b[N];
int cnt[N*N],backa[N*N],backb[N*N],line=0,row=0,writen=0,zero=0;
long long ans=1;
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),backa[a[i]]=i,cnt[a[i]]++;
	for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&b[i]),backb[b[i]]=i,cnt[b[i]]++;
	for (int i=1;i<=n*m;i++) if (cnt[i]>2) zero=1;
	for (int i=n;i>=1;i--)
	    for (int j=m;j>=1;j--)
	    {
	    	int num=(i-1)*m+j;
	    	if (backa[num]&&backb[num])
	    	{
	    		row++;
	    		line++;
	    		writen++;
			}
			else if (backa[num])
			{
				if (line==0) zero=1;
				ans=ans*line%MOD;
				writen++;
				row++;
			}
			else if (backb[num])
			{
				if (row==0) zero=1;
				ans=ans*row%MOD;
				writen++;
				line++;
			}
			else
			{
				if (line==0||row==0) zero=1;
				ans=ans*(row*line-writen)%MOD;
				writen++;
			}
		}
	if (zero) printf("0\n");
	else printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

T2 题面

现有N个点。第i个点的权值为Ai 。你要将这N个点连接成一棵树。
在第i个点和第j个点之间连边的代价是|i-j| × D+Ai+Aj 。请找出总代价的最小可能值。
• 1≤ N≤ 2 × 105
• 1≤ D≤ 109
• 1≤ Ai ≤ 109

思路

分治加边提取出可能有贡献的边后再做最小生成树。
对于区间 [ l ,r ] , 下标有序，去绝对值，左半边贡献为 a[i]-d * i ,右半边贡献为 a[i]+d * i ,连接左右区间的边必定其中一个端点为左边贡献最小的点或者右边贡献最小的点，这样的边有 O(n) 条，层数 O（logn），边数 O（nlogn），时间复杂度O（nlognlogn）
提交记录

#include
#define N 200020
#define LOGN 20
using namespace std;
int n,first[N],nxt[N*LOGN*15],tot=0;
long long Ans,a[N],inf=1e18,d;
int fa[N],cnt=0;
long long Read()
{
	long long x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') 
	{
		if (c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while (c>='0'&&c<='9') 
	{
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return f*x;
}
struct Edge
{
	int u,v;
	long long w;
}edge[N*LOGN*15];
bool cmp(const Edge a,const Edge b)
{
	if (a.w<b.w) return true;
	else return false;
}
void Add(int u,int v)
{
	long long w=abs(u-v)*d+a[u]+a[v];
	tot++;
	nxt[tot]=first[u];
	first[u]=tot;
	edge[tot]=(Edge){u,v,w};
	return;
}
int Build(int l,int r,int flag)
{
	if (l==r) return l;
	int mid=(l+r)>>1;
	int minl=Build(l,mid,-1),minr=Build(mid+1,r,1);
	for (int i=l;i<=mid;i++) Add(i,minr);
	for (int i=mid+1;i<=r;i++) Add(i,minl);
	long long minlr=inf;
	int point=0;
	for (int i=l;i<=r;i++) 
	    if (i*d*flag+a[i]<minlr) point=i,minlr=i*d*flag+a[i];
	return point;
}
int Get(int x)
{
	if (x==fa[x]) return x;
	else return fa[x]=Get(fa[x]);
}
void Join(int x,int y)
{
	fa[x]=y;
	return;
}
long long Krus()
{
	long long ret=0;
	for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
	sort(edge+1,edge+tot+1,cmp);
	for (int i=1;i<=tot;i++)
	{
		int u=edge[i].u,v=edge[i].v;
		int f1=Get(u),f2=Get(v);
		if (f1!=f2)
		{
			cnt++;
			ret+=edge[i].w;
			Join(f1,f2);
		}
	}
	return ret;
}
int main()
{
	//freopen("testdata.in","r",stdin);
	memset(first,-1,sizeof(first));
	n=Read(),d=Read();
	for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=Read();
	Build(1,n,0);
	Ans=Krus();
	printf("%lld\n",Ans);
	return 0;
}

T3 题面

有一个N个点M条边的无向联通图，点有点权，边有边权。
问至少删去多少条边，使得对于剩下的每一条边，它所在的联通块的点权值和大于等于该
边的边权。
• 1≤ N, M≤ 105

思路

反着加边，维护一个sum是一个联通块内不满足要求的边数，由于是从小到大加边，可以保证每次更新答案都是合法
提交记录

#include
#define N 100010
using namespace std;
int n,m,first[N],nxt[N<<1],tot=0;
int fa[N],sum[N],x,y,z,ans=0;
long long w[N];
long long Read()
{
	long long x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') 
	{
		if (c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while (c>='0'&&c<='9') 
	{
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return f*x;
}
struct Edge
{
	int u,v;
	long long w;
}edge[N<<1];
bool cmp(const Edge a,const Edge b)
{
	if (a.w<b.w) return true;
	else return false;
}
void Add(int u,int v,int w)
{
	tot++;
	nxt[tot]=first[u];
	first[u]=tot;
	edge[tot]=(Edge){u,v,w};
	return;
}
int Get(int x)
{
	if (x==fa[x]) return x;
	else return fa[x]=Get(fa[x]);
}
void Join(int x,int y)
{
	fa[x]=y;
	w[y]+=w[x];
	sum[y]+=sum[x];
	return;
}
int main()
{
	memset(first,-1,sizeof(first));
	n=Read(),m=Read();
	for (int i=1;i<=n;i++) w[i]=Read();
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		x=Read(),y=Read(),z=Read();
		Add(x,y,z);
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
	sort(edge+1,edge+tot+1,cmp);
	for (int i=1;i<=tot;i++)
	{
		int u=edge[i].u,v=edge[i].v;
		int f1=Get(u),f2=Get(v);
		if (f1!=f2) Join(f1,f2);
		sum[f2]++;
		if (w[f2]>=edge[i].w) ans+=sum[f2],sum[f2]=0;
	}
	printf("%d\n",m-ans);
	return 0;
}

（未完待续）