【算法导论】9.中位数和顺序统计量

在一个由n个元素组成的集合中，第i个顺序统计量是该集合中第i小的元素。一个中位数是它所属集合的“中点元素”。中位数总是出现在上中位数处和下中位数处，本书中所用的“中位数”都是指下中位数。

本章讨论的问题是，从一个由n个互异的元素构成的集合中选择第i个顺序统计量的问题，假设集合中的元素都是互异的。问题可被形式化定义为：

输入：一个包含n个（互异的）数的集合A和一个整数i，1<=i<=n.

输出：元素x属于A，且A中恰好有i-1个其它元素小于它。（即在增序情况说下，x为第i 个元素）。

---

9.1最小值和最大值

对于确定单个最小值（最大值）的问题，能得到的下界就是n-1次比较，即需要遍历整个数组进行比较。

Minimum(A)
{
    min=A[1];
    for i=2 to A.length
        if min>A[i]
            min=A[i];
    return min
}

同时找最小值和最大值，如果分别独立地找出最小值和最大值，需要共2n-2次比较。

采用另一种方法：记录已知的最小值和最大值（上面的做法是用每一个输入元素与当前的最小值和最大值进行比较，这样每个输入值都需要比较两次），对输入元素进行成对处理。先将一对输入元素相互进行比较，然后把较小的与当前最小值比较，把较大的与当前最大值进行比较，这样每两个元素需要3次比较。此时的比较次数为，可以同时找到最小值和最大值。

设定已知的最小值和最大值的初始值依赖于n是奇数还是偶数。当n是奇数时，最大值和最小值的初始值都设为第一个元素的值，然后成对的处理剩下的元素。如果n是偶数，就对前两个元素做一次比较，决定最大值和最小值的初值，然后成对的处理剩下的元素。

---

9.2期望为线性时间的选择算法

解决选择问题的分治算法，期望运行时间为(n)。

Randomized-Select(A, p, r, i)//返回数组A[p..r]中第i小的元素
{
    if p==r//此时A中只包括一个元素，直接返回
        return A[p];
    q=Randomized-Partition(A, p, r);
    k=q-p+1;
    if i==k//检查A[q]是否是第i小的元素
        return A[q];//如果是的话，就返回A[q]
    else if i

Randomized-Select的最坏情况运行时间为(n^2)，因为在每次划分时可能总是按余下的元素中最大的来进行划分，划分操作需要(n)时间。同时，该算法有线性期望运行时间，因为它是随机化的，所以不存在一个特定会导致其最坏情况发生的输入数据。

---

9.3最坏情况为线性时间的选择算法

一个最坏时间为O(n)的选择算法。像Randomized-Select一样，Select算法通过对输入数组的递归划分来找出所需元素。但是在该算法中能够保证得到对数组的一个好的划分。通过执行下列步骤，算法select可以确定一个有n>1个不同元素的输入数组中第i小的元素。（如果n=1，则select只返回它的唯一输入数值作为第i小的元素）。

1. 将输入数组的n个元素划分为(向下取整(n/5))组，每组5个元素，且至多只有一组由剩下的nmod5个元素组成。

2.寻找这(向上取整(n/5))组中每一组的中位数：首先对每组元素进行插入排序，然后确定每组有序元素的中位数。

3.对第2步中找出的(向上取整(n/5))个中位数，递归调用select以找出其中位数x（如果有偶数个中位数，为了方便，约定x是较小的中位数）。

4.利用修改过的Partition版本，按中位数的中位数x对输入数组进行划分。让k比划分的低区中的元素数目多1，因此x是第k小的元素，并且有n-k个元素在划分的高区。

5.如果i=k，则返回x。如果ik，则在高区递归查找第i-k小的元素。

（代码下次补）。

时间复杂度为O(n)。