异或线性基心得

本来是11月底学的这个东西，

这两天cf两场都出了异或线性基，

发现自己做题量还是不够，总结一下

 

cf1·11的G是个异或线性基的裸题

cf1·13的F是个异或线性基与线段树结合的题

在这里线段树的合并操作，就可以理解成两个异或线性基的并操作，

即将一个线性基加入到另一个线性基的过程

 

思路来源

https://blog.sengxian.com/algorithms/linear-basis

题目来源

https://www.cnblogs.com/cxhscst2/p/8449971.html（2017ICPC西安）

cf1.13F题

BZOJ2844

http://www.cnblogs.com/wangck/p/4187488.html（BZOJ3811 清华集训）

心得

学会几个操作吧

①求异或最大和

构造异或线性基，从高位到低位枚举，优先取高位

②求第k大值（不重复）

考虑有i个独立的基底，从小到大依次为b[i]，共r个，由n个数构造

则类似二进制枚举，r个共可构造出(1<

先判0能不能取，若秩r

数不重复即每个只能出现一次，则第k大值，

若0可取，k--

然后压出k的二进制，在r个数里类似快速幂一样去取，

if(k&(1<

③求Q的排名（允许重复）

考虑有i个独立的基底，从小到大依次为b[i]，共r个，由n个数构造

注意到每个数出现的次数均为(1<<(n-r))

因为没被选入基底的数有n-r个，其能用基底唯一表示，再把基底对应选中一异或就变成0向量

故有n-r个零向量，其子集均为0向量，则任意一个可由基底构造出来的数res，

均可附加上这些零向量的子集，使之仍为res，

故每个可构造出来的数均出现每个数出现的次数均为(1<<(n-r))次

 

如何算Q对应的rank的最小值

设Q是由右起第a0,…,ai，…,am个向量异或而来，没有参与的向量置0

则考虑am…a1a0的二进制表示，显然比它小的数有amam-1…a1a0个，包括0

此处二进制是考虑右起出现的第i个线性基，故连续，不是线性基代表的b[i]的i

（1）如果0可取，

比它小的值的次数=每个数出现个数*比它小的值的个数

即(1<<(n-r))*am…a1a0的二进制表示

本身rank最小值=上述值+1

（2）如果0不可取，显然无零向量，即n=r，（1<<(n-r)）=1

比他小的值的次数=比它小的值的个数=（am…a1a0的二进制表示​​​​​​）-1

本身rank最小值=（（am…a1a0的二进制表示​）-1）+1=am…a1a0的二进制表示​​​​​​

④求概率相等时异或和的期望（算每一位的贡献）

即BZOJ3811 k=1的情形

当ai这一位可以取1的时候，选上这个基与不选这个基各对应1/2的概率

而别的基ai这一位没有1，不管；

非线性基可以化成0向量，不管；

其实考虑非线性基不化成0向量的情形，也是若其ai这一位有1，选上1/2，不选1/2

且与ai那一位的基线性叠加，奇数个ai为1时有贡献，偶数个ai为1时没贡献，

这样同时选和同时不选是1/2，选1个是1/2

以上为2个的情形，合并考虑，数学归纳可证m个ai这一位有1的情形

 

故每一位出现的概率均为1/2，

这个和的期望，等于单独考虑可能出现的每一位的期望的线性和，

而每一位出现的概率均为1/2，

故答案为，线性基取或的最大值（不如说是n个数取或的最大值，即令每一个可能出现的位都出现）的1/2

 

⑤暴力枚举子集算和的期望的技巧

即BZOJ3811 k>=3的情形

设有x个可能出现的数，即线性基秩为r时，x==(1<

此题答案不超过(1<<63)，但中间计算sigma(x个可能出现的数)，再除以x时，sigma可能爆LL

故开一个高位，开一个低位，

高位ans保存＞x的位，低位res保存

即ans=sigma/x,res=simga%x

由于x是2的倍数，即ans+=(res>>x),res&=(x-1)即可

当x是2的倍数时，res&=(x-1)与res%=x等价，都是去掉高于x-1那一位的1嘛

⑥异或环和

即BZOJ2115

无向图，

1->n的任一路径异或和，等于1->n的某一路径异或和，和某一环的异或和

画个图就能证明，把环的一部分异或掉，异或上另一部分

和那个做功与路径无关的无旋场上的环很像，但这里正是通过环来改变权值

假设有一个a->c->b->d->a的环，原来是一条包含a->c->b的路径，异或上这个环，就变成了a->d->b的路径

待填坑

CF0113 F题 线段树+线性基

2017 ACM-ICPC Asia Xi'an Problem A XOR（异或线性基 ）

BZOJ3811 求期望的k=2的情形，分1/2,1/4,0三种情况讨论

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