福利来了：几何——二维凸包

继上次ACM几何问题，这次在这里讲一下凸包，作为给大一努力的礼物。
凸包即为一个最小凸多边形满足所有的点都在其内或其边上。
下面将讲述Andrew的算法，其比Graham算法更快更稳定。
对于输入的点p，先按照x从小到大排序（如果x相同，按照y从小到大排序）。
然后进行两次扫描，第一次从左到右，第二次从右到左，每次扫描时间复杂度为O(n)，排序为O(nlogn)。
第一次扫描：先将前面的两个点加入，第一个点记X1，第二个点记X2，然后对于第三个点X3，此时产生两个向量v1=X2-X1,v2=X3-X1。
如果v1叉积v2为正，则加入X3这个点，否则删去X2这个点。然后重复上面的步骤，直到遍历完所有的点。
上面的描述也可以这样表述：第一个点记X1，第二个点记X2，然后对于第三个点X3，若X3在向量X1X2的左边，那么加入该点，否则删除X2。
第二次扫描同理，将第一次扫描的最后一个点作为第一个点，然后再加入一个点，重复上面的步骤。

代码如下：

//p[]为所有点的点集，n为所有点的个数，ch[]为存储凸包上的点的点集 
int Andrew(Point *p, int n, Point *ch)
{
	sort(p, p + n);
	int m = 0;
	//第一次扫描
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		//Cross函数为两向量叉积函数 
		while (m > 1 && Cross(ch[m - 1] - ch[m - 2], p[i] - ch[m - 2]) <= 0) m--;
		ch[m++] = p[i];
	}
	int k = m;
	//第二次扫描
 	for (int i = n - 2; i >= 0; i--)
	{
		while (m > k && Cross(ch[m - 1] - ch[m - 2], p[i] - ch[m - 2]) <= 0) m--;
		ch[m++] = p[i];
	}
	//得到的点集中最后一个跟第一个一样，所以减一，返回凸包顶点数
	return m - 1;
}

看完上面的内容，我们来想一想下面的题目。

一：坐标系里有一些长方形，只能用直线，使长方形都在你所创建的凸多边形内。

二：平面上有N个红点和M个蓝点，是否存在一条直线，使得直线的左边都是同一种颜色的点，右边都是另一种颜色的点，且点不能再所划的线上。

有兴趣的童鞋可以回复这两个题目在评论版。