ACM算法：树状数组（详细）

树状数组的用途：它用来快速修改和查询一个给定数字序列中，某个区间内值的和，这貌似是树状数组唯一

的用处。如果之前了解过线段树，你就会发现，线段树的使用范围更加广泛，而且线段树更加容易理解，但

这并不代表树状数组比线段树差。线段树虽然使用范围相对广泛，但是树状数组的性能较高，而且代码量较

少，只要理解树状数组之后，你就会发现树状数组的强大之处。

树状数组的思路：树状数组核心思想有点二分的思想（似乎很多高效的算法都和二分有关）。

话不多说，先上图：

图中的a数组只是用来标识位置的，并不是我们实际代码中需要使用。实际代码中，我们只要使用到

c数组即可。看到图之后你应该有点感觉了吧，没错，一个明显的树状结构，而且这个树状结构所占

用的空间和装有原元素的数组空间相同，不像线段树，最差情况下，需要开比原数组大四倍的空

间。

我们这用含八个元素的数组来解释树状数组（图中的第九个元素直接忽略）。在研究算法的时候，

我们需要先研究c数组（保存1~k区间的和）是按照一种什么样的规律进行计算的。

C8 = C4 + C6 + C7 + a8，C4 = C2 + C3 + a4......。你把c数组里的每个元素按照这种方式去写出来

你就会发现，c数组中偶数（2^，即二进制中的位）下标的元素总是可以将它拆成左右两边分别进行

计算，而下标是奇数的元素的值总是等于对应原元素的值。可能你还是不明白，那我这举个例子。

例如c数组中下标为1、3、5、7、9的元素都是等于其原元素的值，而下标而可以拆成（1~1）和

（2~2）分别进行计算，下标4可以拆成（1~2）和（3~4）分别进行计算，按照这种规律，下标6应

该可以拆成（1~3）和（4~6）分别进行计算，但是事实上不是这样的，我们实际上只有2^（2的次方）

的偶数才会进行如上的二分计算，那为什么呢？理由很简单，只是为了方便实现算法和计算。

核心代码的讲解：

void add(int k, int num)
{
	while (k <= n) {
		tree[k] += num;
		k += k & (-k);
	}
}

//计算1~k区间的值和，如果你要求[q,p]区间的值，只要[1,p]-[1,q]即可
int read(int k)
{
	int sum = 0;
	while (k) {
		sum += tree[k];
		k -= k & (-k);
	}

	return sum;
}

/*
先解释一下代码中的&，&操作符只有在二进制中（1  1）时才得1，其余情况下均为0.
然后k & （-k）是什么意思，其实你只要在纸上稍微写一下你就会发现，这其实就是
取得k的二进制中的最低位的1.例如3（0011）& -3（1101） = 0001，其余的数你自
己在纸上验证，我在这就不具体讲了。
然后在add函数中，k += k & (-k)的意思就是我在思路中讲到的二分操作，也是为什
么只有2^（2的次方）才能二分操作的原因，这里不好用文字表现，我直接用二进制举例
例：k = 3，在add函数中，我们需要更改C3，C4，C8的值，所以利用k += k & (-k)语句
你就会发现，得到的k一次等于3,4,8.是不是很神奇。在read函数中也是如此，你只要在
草稿纸上稍加验算，结果一目了然。
*/

总结：树状数组不像线段树的代码过于冗长，而且效率更高。只是其使用范围较窄，需要好好斟酌使用