组合数学：第一类，第二类斯特林数

第一类斯特林数：
我们考虑这样一个问题：有n个互不同的小球，拼成k个环，有几种拼法。数据量：n<=1000
这样的数据量，不难看出是一个$n^2$的DP或者说递推。
我们假设S（n，k）表示前n个小球，拼成k个环的方案数。
这样看似要知道每一个环中有几个小球，但是其实我们可以直接添加小球。
我们可以假设把小球加到某一个已经拼好的小球后面，那么这样就能枚举到每种情况。并且它是一个环，所以不用枚举当前小球在某一个环的头部的情况。
还有一种它自成一环的情况，累计一下就好了。
那么可以写出递推式：$$S（i，j）=（i-1）\ast S（i-1，j）+S（i-1，j-1)$$

本质：
也许读到这里会感到奇怪，这样的东西为什么会被发现，并且还单独列出来。
其实第一类斯特林数的本质就是排列数的系数。
$$A_n^k=n\ast (n-1)\ast (n-2)\ast ...\ast (n-k+1)$$
展开一下：
$$A_n^k=S(k,k)\ast n^k-S(k,k-1)\ast n^{k-1}+S(k,k-2)\ast n^{k-2}...$$
所以可以将它写成公式形式：
$$A_n^k=\sum _{i=0}^k(-1{)}^{k-i}\ast S(k,i)\ast n^i$$
第二类斯特林数：
同样，考虑一个问题：有n个互不同的数，放入成k个非空集合，有几种放法。数据量：n<=1000
有了上一个递推的基础，这显然也是一个递推。
S（i，j）表示前i个数，组成j个集合的方案数。
有了上一个递推的基础，不难写出递推式：$$S（i，j）=j\ast S（i-1，j）+S（i-1，j-1）$$
upd：
第二类斯特林数的容斥形式：
$$S(i,j)=\sum _{k=0}^m\ast (-1{)}^k\ast C_m^k\ast (m-k{)}^n$$
即：枚举空的盒子数，然后容斥解决