矩阵特征多项式的系数公式

时间是个常数，但对勤奋者来说，是个‘变数’。用‘分’来计算时间的人比用‘小时’来计算时间的人时间多59倍。 ——雷巴柯夫

关于$n$阶矩阵的特征多项式，书上只给出了最高次项、次高次项和常数项：

$$|\lambda E-A|={\lambda }^n-(trA){\lambda }^{n-1}+\cdots +(-1{)}^n|A|.(1)$$

你是不是很好奇：省略的项的系数如何计算呢？本文给出一个简单介绍。

1. 预备知识

矩阵的 $k$ 阶主子式的概念：设 $n$ 阶矩阵$A=(a_{ij})$. 其 $k$ 阶主子式为$detA\left(\begin{array}{c}{i}_1,i_2,\cdots ,i_k\\ i_1,i_2,\cdots ,i_k\end{array}\right).$ 简单地说，就是在$A$中取$i_1,i_2,\cdots ,i_k$行，同时取$i_1,i_2,\cdots ,i_k$列，这些行与列的交叉点的元素构成的子矩阵的行列式.

2 特征多项式的系数的一般公式

设$f(\lambda )=|\lambda E-A|={\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0.$
那么，
$a_{n-i}=(-1{)}^i\times A$的所有$i$阶主子式的和.

特别地，当$A$为3阶矩阵时，

$$f(\lambda )=|\lambda E-A|={\lambda }^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33}){\lambda }^2+\left(\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|\right)\lambda +|A|.（2）$$

3 应用

设$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 4\\ 3& 4& 1\end{array}\right)$,计算$A$的特征多项式.

解： $a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+1+1=3,$

$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|=-26,$

$|A|=20,$

所以，

$f(\lambda )=|\lambda E-A|={\lambda }^3-3{\lambda }^2-26\lambda -20.$

4 公式的推导

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