tarjan算法总结

部分内容引自https://www.cnblogs.com/stxy-ferryman/p/7779347.html

该篇代码仅仅是对思路的一个展现,并没有去题目中验证,可能会有些许误差

Tarjan算法不是一个算法而是一类算法

1.求取强连通分量

  强连通分量————有向图的强连通子图

  tarjan算法基于dfs,利用栈的思想,把下面所有的点都遍历完毕后,所能链接的最小祖先节点(可能没有),就是要寻找的强连通分量

  所以我们需要dfn数组存储dfs的遍历顺序,low数组存储这个节点后所有的子孙节点所能到达的最小节点(dfn最小)值

  为了能够得知构成这个强连通分量的所有的点,可以利用栈去记录,因为退的时候,肯定是退到最头上(如果有额外的分支,那么之前肯定早就退栈了)

  当我们遍历的时候初始化时dfn = low = idx这个初始化意思很好懂,如果没有后继节点,值就是这个

  接下来我们可能会面对三种点

  ·没有遍历过的,我们就递归tarjan遍历,然后优化low[u] = min(low[u],low[v])

  ·我们遍历过了,这个点还在栈中,那就代表这个点u可以到达,所以我们更新的时候,low[u] = min(low[u],dfn[v])_____你要知道此时的low[v]是取决于现在的low[u]的因为v在栈中,所以u是v的后继节点,这是一条返祖边

  ·我们遍历过了,这个点不在栈中了,证明这个点经历了一次退栈,形成了一次联通分量,但是不包括u,因为这个点不能到达u,如果这个点可以到达u的话,u又可以到达这个点,那么就不会退栈了(这里的到达都是要经过子孙节点的),所以对于这样的点,不必考虑任何问题

 所以直到遍历完所有的子孙节点我们就可以进行退栈的操作了,那些独立的联通分量的标志就是

  low == dfn

  意思就是对于节点u,其子孙节点所能到达的最大节点就是u,也就是形成了一个回路,环,而且可以保证这个环是最大的

所以说了这么多,以上的算法思想用于求取一个图的强连通分量——最后进行color染色处理

void tarjan_liantongfenliang(int u,int fa)
{
    dfn[u] = low[u] = ++index;
    stk[s_cnt++] = u;
    instk[u] = true;
    
    for(int i = id[u];~i;i = e[i].pre)
    {
        int v = e[i].to;
        if(!dfn[v])
        {
            tarjan(v,u);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
        }
        else if(instk[v] == true)
        {
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if(dfn[u] == low[u])
    {
        col++;
        while(s_cnt > 0 && stk[s_cnt] != u)
        {
            s_cnt --;
            color[stk[s_cnt]] = col;
            instk[stk[s_cnt]] = false;
        }
    }
}

 2.tarjan缩点

利用tarjan算法可以把一个图变成单向无环图

这个继承自强连通分量,对于每一个强连通分量,我们能够看出一个超级点,这个超级点的内部可以互相到达,然后根据这个图所表示的含义,通常要去计算超级点的度,最后输出满足题意的超级点内所有的点

和上面的代码一致

3·求割点和桥(割边)

割点:去掉这个点(和这个点外射的所有边),把一个连通图变成多个连通分量

割边:同样的道理,去掉这条边,把一个连通图变成多个连通分量

这时候我们要判断何时是一个割点

  1.当前节点是根节点——从这个节点开始的dfs,所以如果这个点有两个子树,那么就是一个割点

  2.任意节点,如果low[v] >= dfn[u],表示u的这个子孙能够到达的最小祖先节点是比u小的,所以u是子孙v连接祖先的关键点

 

所以最让我不解的问题解决了,就是执行low更新时候的问题求取连通分量的时候,对于访问过的,不在栈的要忽略处理,因为不可能为同一个连通分量

对于割点割边,对于双向边进行忽略其余的访问过的按照定义更新

说了再多注意一下情况,强连通分量要注意已经出栈的量,他不可能在形成强连通分量

对于割点,注意两点之间的双线边操作,这样是毫无意义的割点

void tarjan_gedian(int u,int fa)
{
    int son = 0;
    dfn[u] = low[u] = ++index;
    for(int i = id[u];~i;i = e[i].pre)
    {
        int v = e[i].to;
        if(!dfn[v])
        {
            tarjan(v,u);
            son++;
            low[u] = min(low[u],low[v]);
            if(u != root && low[v] >= dfn[u])
            {
                cut_point[u] = 1;
            }
            else if(u == root && son > 1)
            {
                cut_point[u] = 1;
            }
        }
        else if(v != fa)
        {
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
}

 

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