基本动态规划题学习笔记与解析——6（多重部分和问题）

例
有n种不同大小的数字ai ，每种有mi 个，判断是否可以从这些数字中选出若干使他们的和恰好为k

样例输入
n=3
$a_i$，$m_i$

3 3
5 2
8 2
k=17

输出
YES （3*3+8=17）

思路
同样是用基本的dp来求解，一般遇到这种问题，我们首先要找到他的递推式
我们假定dp【i】【j】表示 “用前 i 种数字加和得到j时还剩多少个m【i】，如果不能得到则取-1”
因此我们得到递推式

1.当dp【i-1】【j】>=0时，代表前i-1个数字已经可以加和成j ，第i个数字不用选也能成立 所以 dp【i】【j】=m【i】；
2.当 j 3.最后只剩下可以选择 a【i】的情况，因此在这个情况下选择后 ，
dp【i】【j】=dp【i】【j-a【i】】-1 （对应于选择前对应a【i】数量-1）

找着这个对应关系很快就能写出对应代码。

而如果想要更加简化代码（非必要），我么可以将dp数组中的i省略降为一维数组
代码如下

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
	int dp[100];
	int n,i,t,j,k;
	int a[100],m[100];
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	dp[0]=0;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&a[i],&m[i]);
	}
	scanf("%d",&k);
	for(i=1;i<=n;i++)
	for(j=0;j<=k;j++)
	{
		if(dp[j]>=0)
		{
			dp[j]=m[i];
		}
		else if(j<a[i]||dp[j-a[i]]<0)
		{
			dp[j]=-1;
		}
		else
		{
			dp[j]=dp[j-a[i]]-1;
		}
	}
	if(dp[k]>=0)
	{
		printf("YES");
	}
}

为何省略i后与原来一样 ？
因为每一次在新的循环，dp【j】对应的数值是在i-1基础上处理后得到的数值
我们求出在i的基础上处理的数值后直接存储进dp【j】，而再之后i-1对应的数值不再会用到了，被取代也没有关系。