图论（Dijkstra算法）

Dijkstra算法 (转载：http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html)

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

 

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

 

执行动画过程如下图

 

3.算法代码实现：

 "font-size:14px;">const int  MAXINT = 32767;
 const int MAXNUM = 10;
 int dist[MAXNUM];
 int prev[MAXNUM];

 int A[MAXUNM][MAXNUM];

 void Dijkstra(int v0)
 {
   　　bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中
       int n=MAXNUM;
   　　for(int i=1; i<=n; ++i)
  　　 {
       　　dist[i] = A[v0][i];
       　　S[i] = false;                                // 初始都未用过该点
       　　if(dist[i] == MAXINT)
             　　prev[i] = -1;
  　　     else
             　　prev[i] = v0;
    　　}
    　 dist[v0] = 0;
    　 S[v0] = true;
  　　 for(int i=2; i<=n; i++)
  　　 {
        　　int mindist = MAXINT;
        　　int u = v0; 　　                            // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
       　　 for(int j=1; j<=n; ++j)
       　　    if((!S[j]) && dist[j]
       　　    {
          　　       u = j;                             // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
          　 　      mindist = dist[j];
        　　   }
        　　S[u] = true;
        　　for(int j=1; j<=n; j++)
        　　    if((!S[j]) && A[u][j]
        　　    {
            　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径
            　    　{
                    　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist
                    　　prev[j] = u;                    //记录前驱顶点
             　　    }
         　    　}
    　　}
 }

4.算法实例

先给出一个无向图

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下