[APIO2010]特别行动队

题目描述

你有一支由 n 名预备役士兵组成的部队，士兵从 1 到 n 编号，要将他们拆分 成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号 应该连续，即为形如 (i, i + 1, …, i + k)(i,i+1,…,i+k) 的序列。 编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi ，一支特别行动队的初始战斗力 x 为队内 士兵初始战斗力之和，即 x = x_i + x_{i+1} + … + x_{i+k}x=x
i
​ +x
i+1
​ +…+x
i+k
​ 。

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力 x 将按如下经验公 式修正为 x’:x’= ax^2+bx+cx
′
:x
′
=ax
2
+bx+c ，其中 a, b, c 是已知的系数（a < 0）。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后 战斗力之和最大。试求出这个最大和。

例如，你有 4 名士兵， x_1 = 2, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4x
1
​ =2,x
2
​ =2,x
3
​ =3,x
4
​ =4 。经验公式中的参数为 a = –1, b = 10, c = –20。此时，最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队：第一队包含士兵 1 和士兵 2，第二队包含士兵 3，第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分 别为 4, 3, 4，修正后的战斗力分别为 4, 1, 4。修正后的战斗力和为 9，没有其它 方案能使修正后的战斗力和更大。

输入输出格式

输入格式：
输入由三行组成。第一行包含一个整数 n，表示士兵的总数。第二行包含三 个整数 a, b, c，经验公式中各项的系数。第三行包含 n 个用空格分隔的整数 x_1, x_2, …, x_nx
1
​ ,x
2
​ ,…,x
n
​ ，分别表示编号为 1, 2, …, n 的士兵的初始战斗力。

输出格式：
输出一个整数，表示所有特别行动队修正后战斗力之和的最大值。

输入输出样例

输入样例1
4
-1 10 -20
2 2 3 4
输出样例1
9

说明

20%的数据中，n ≤ 1000；

50%的数据中，n ≤ 10,000；

100%的数据中，1 ≤ n ≤ 1,000,000，–5 ≤ a ≤ –1，|b| ≤ 10,000,000，|c| ≤ 10,000,000，1 ≤ xi ≤ 100

思路

首先还是写出一个 O(n^2) 的DP

    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=0;j<i;++j)
            f[i]=max(f[i],f[j]+F(c[i]-c[j]));

其中 F(x) 是题目中的二次函数 c[i] 是前缀和

假设 j 的转移优于 k
那么就有 f[j]+F(c[i]-c[j])>f[k]+F(c[i]-c[k])

又有 F(x)=A(x)^2+Bx+C

直接带入得到

f[j]+A(c[i]-c[j])^2+B(c[i]-c[j])+C

右边同理

然后两边同时减掉一部分得
f[j]+Ac[j]^2-2Ac[i]c[j]-Bc[j]>f[k]+Ac[k]^{2}-2Ac[i]c[k]-Bc[k]

然后就可以斜率优化直接搞了

代码

#include
#include
#include
#define ll long long
#define maxn 1000010
using namespace std;
ll n,a,b,c,sum[maxn];
ll dp[maxn],q[maxn],head=1,tail=1;

double slope(ll j,ll k){
    return (((((dp[k]-dp[j])*1.0/(sum[k]-sum[j]))-b)*1.0/a)+(sum[k]+sum[j])*1.0); 
}
ll calc(ll i,ll j){
    return a*(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+b*(sum[i]-sum[j])+c+dp[j];
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(headq[head],q[head+1])<=2*sum[i])
            head++;
        dp[i]=calc(i,q[head]);
        while(headq[tail],i)<=slope(q[tail-1],q[tail]))
            tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    printf("%lld\n",dp[n]);
    return 0;
}