题目链接:agc013e Placing Squares
给你一个正整数序列S,长度为m,还有一个正整数n,S中元素升序且都小于n ( 1 ≤ X 1 < X 2 < . . . < X m ≤ n − 1 ) (1\le X_1<X_2<...<X_m\le n-1) (1≤X1<X2<...<Xm≤n−1),现在对于一个正整数序列,如果它的任意一个前缀和属于集合S就是非法的。(那个,好像按原题意默认序列元素和小于等于n)
一个合法序列a贡献是 ∏ i = 1 k a i 2 \prod_{i=1}^k ai^2 ∏i=1kai2,求所有合法序列的贡献和。(mod 10^9+7)
这个模型转化太妙了(这个题属于模型一转换就会,不转换做死的题)
问题等价于n个位置,每个位置可以放一个红球或一个绿球或一红一绿,什么都不放也可以,两个位置之间可以放隔板,第一个位置前和第n个位置后固定有隔板,但第 X i X_i Xi个位置和第 X i + 1 X_i+1 Xi+1个位置之间不能放隔板,要求每两个隔板之间必须恰好有1个红球和一个绿球的方案数。
显然是套路性的dp+矩阵快速幂优化,可以放隔板的地方用矩阵快速幂转移,其余地方暴力转移(写的时候加了个快速乘结果被卡两个点)
这个模型转化妙就妙在红绿球。方案太多了, ∏ i = 1 k a i 2 \prod_{i=1}^k ai^2 ∏i=1kai2难以处理导致只能先将具体方案算出再算贡献,这样就挂了。红绿球则以一种很容易dp的方式把这个式子融入了整体中,使其可以一次算出。
#include
#include
#include
using namespace std;
const int M=1e5+5;
const int N=1e9+5;
const int mod=1e9+7;
struct Matrix{
int n,m;
int ju[5][5];
Matrix(){
n=m=3;
memset(ju,0,sizeof(ju));
ju[1][1]=ju[2][2]=ju[0][0]=1;
}
Matrix(int n1,int m1){
n=n1,m=m1;
memset(ju,0,sizeof(ju));
}
int MUL(int a,int b){
int ret=0;
while(b){
if((b&1))
ret=(ret+a)%mod;
a=(a+a)%mod;
b>>=1;
}
return ret;
}
Matrix Se(){
Matrix ret(n,m);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<m;j++)
ret.ju[i][j]=ju[i][j];
return ret;
}
Matrix operator*(const Matrix dd){
Matrix ret(n,dd.m);
if(dd.n!=m)
{
printf("Error\n");
return ret;
}
for(int i=0;i<ret.n;i++)
for(int j=0;j<ret.m;j++)
for(int k=0;k<m;k++)
ret.ju[i][j]=(ret.ju[i][j]+(((long long)ju[i][k])*((long long)dd.ju[k][j])%mod))%mod;
// ret.ju[i][j]=(ret.ju[i][j]+MUL(ju[i][k],dd.ju[k][j]))%mod;
return ret;
}
Matrix operator^(int p){
Matrix ret,Self=Se();
while(p)
{
if((p&1))
ret=ret*Self;
Self=Self*Self;
p>>=1;
}
return ret;
}
}EM(3,3),dp(1,3),ES(3,3);
int n,m;
int Si[M],E[3][3]={{1,2,1},{0,1,1},{1,2,2}};
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d",&Si[i]);
for(int i=0;i<3;i++)
for(int j=0;j<3;j++)
EM.ju[i][j]=E[i][j];
ES=EM;
ES.ju[2][0]=ES.ju[2][1]=0;
ES.ju[2][2]=1;
dp.ju[0][0]=1,dp.ju[0][1]=2,dp.ju[0][2]=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
dp=dp*(EM^(Si[i]-Si[i-1]-1));
dp=dp*ES;
}
dp=dp*(EM^(n-Si[m]-1));
cout<<dp.ju[0][2]<<endl;
return 0;
}