51nod1035 最长的循环节问题

1035 最长的循环节

基准时间限制： 1 秒 空间限制： 131072 KB 分值: 20 难度： 3级算法题

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正整数k的倒数1/k，写为10进制的小数如果为无限循环小数，则存在一个循环节，求<=n的数中，倒数循环节长度最长的那个数，假如存在多个最优的答案，输出所有答案中最大的那个数。

1/6= 0.1(6) 循环节长度为1

1/7= 0.(142857) 循环节长度为6

1/9= 0.(1)  循环节长度为1

Input

输入n（10 <= n <= 1000)

Output

输出<=n的数中倒数循环节长度最长的那个数

Input示例

10

Output示例

7

思路： 一个数n的循环节位数设为x，那么10^x ≡ 1 （mod n）。这个定理决定了这个数跟10的gcd为1，即不含2 和 5 的因子。其次，如果存在x，那么x整除phi（n）（phi为欧拉函数）

Code:

#include 
using namespace std;

int phi( int n ){
	int res = 1 ;
	for( int i = 2 ; i * i <= n ; i++ ){
		if( n % i == 0 ){
			n /= i, res *= i-1;
			while( n % i == 0 ) n /= i , res *= i;
		}
	}
	if( n > 1 ) res *= n-1;
	return res ;
}

int quick( int a, int b , int p ){
	int ans = 1;
	while( b ){
		if( b & 1 ){
			ans = (ans*a)%p;
		}
		b >>= 1;
		a = (a*a)%p;
	}
	return ans ;
}

int main(){
	int n;
	cin >> n ;
	int res = 0;
	int len = 0;
	for( int i = 7 ; i <= n ; i++ ){
		if( __gcd( 10 , i ) == 1 ){
			int tmp = phi(i);
			for( int j = 1 ; j <= tmp ; j++ ){
				if( tmp % j == 0 && quick(10,j,i) == 1 ){
					if( j > len ){
						len = j ;
						res = i;
					}
					break;
				}
			}
		}
	}
	cout << res << endl;
	return 0;
}