GDKOI2016 day 2 Problem 4. 小学生数学题 - 数学题
题意：求
∑i=1ni−1modpk,p≤105
不知道是啥题。
我们可以注意到，当 n<p 的时候显然是一定有解的，而当 n≥p 时，对于每个 kp 项，可能单独没有逆元，但是也可能 ∑⌊n/p⌋k=11/k 是 p 的倍数把 p 约掉，这样就存在逆元了。既然题目保证了一定存在逆元，那么我们可以把这部分分开出来算。
设
F(n)=∑i=1ni−1,G(n)=∑i=1,i≠jpni−1
那么我们有
F(n)=G(n)+F(⌊n/p⌋)/p
因此我们每次可以将
n 的规模缩小
p ，函数
F 的次数是
O(logpn) 的。现在我们的问题是如何计算
G(n) 。
为了方便分析，不妨我们先设 p∣n ，这样我们可以有
G(n)=∑a=1p−1∑b=0⌊n/p⌋−11a+bp
这里我们还是比较难进行快速计算，可以想办法把形式比较好的
1a+bp 给拆开，比如幂级数展开：
1a+bp=a−1∑i=0∞(−1)ibiaipi
注意我们是在模
pk 的意义下做的这个玩意，因此我们可以将
k−1 以后的项全部直接删掉。故得到
G(n)=∑a=1p−1∑b=0⌊n/p⌋−1a−1∑i=0k−1(−1)ibiaipi=∑i=0k−1(−1)i∑a=1p−1piai+1∑b=0⌊n/p⌋−1bi
推至此，我们可以发现前面的 ∑k−1i=0∑p−1a=1piai+1 是可以在 O(kp) 的时间内计算出来的，接下来的问题就是计算 ∑⌊n/p⌋b=0bi 了。
出题人似乎给的做法是伯努利数或者直接矩阵乘法？然而我都不会那些东西所以YY了一下 k 次方和。
以下是我YY的计算 ∑ni=0ik 的做法，不知道有没有错。。。
设 Sk(n) 表示上面要求的这个式子，尝试用组合数来计算这串东西。
注意到
(nk)=nk⎯⎯k!=∑ki=0(−1)i+ks(k,i)nik!
其中
s(n,k) 表示第一类斯特林数
s(n,k)=(n−1)s(n−1,k)+s(n−1,k−1) 。那么
Sk(n)=∑j=0n(k!(jk)−∑i=0k−1(−1)i+ks(k,i)ji)=k!∑j=0n(jk)−∑i=0k−1(−1)i+ks(k,i)∑j=0nji=k!(n+1k+1)−∑i=0k−1(−1)i+ks(k,i)Si(n)=(n+1)k+1⎯⎯⎯⎯⎯k+1−∑i=0k−1(−1)i+ks(k,i)Si(n)
于是我们只需要 O(k2) 地预处理出第一类斯特林数然后就可以按k来递推算了，当然边界是 S1(n)=n(n+1)/2 。
回到原问题中，既然我们要求的是 ∑⌊n/p⌋−1b=0bi ，那么就可以直接代进去得到：
G(n)=∑i=0k−1(−1)i∑a=1p−1piai+1Si(⌊n/p⌋−1)
到了这一步，我们就可以愉快地将 pi 和 1ai+1 全都预处理出来，然后就可以在 O(kp) 的时间计算 G(n) 了。
补充一下当 p∤n 的时候，我们可以把后面的余项划归入前面一部分，若设 r=nmodp ，则此时
G(n)=∑i=0k−1(−1)i∑a=1rpiai+1Si(⌊n/p⌋)+∑i=0k−1(−1)i∑a=r+1p−1piai+1Si(⌊n/p⌋−1)
再回到上一步 F(n)=G(n)+F(n/p)/p ，也就可以递归计算了。
至此我们只需要预处理一些东西，然后递归快速计算就可以辣。
时间复杂度？每一层计算 G 的复杂度是 O(kp) ,递归层数是 O(logpn) ，总复杂度是 O(kplogpn) 。
应该有更优的做法>_<
为毛一直都没有人告诉我上面的幂级数展开少了个 (−1)i 。。。。调了好久啊TAT
奇怪的Code：（懒得删注释了）
#include