算法学习链接+学习小结

#序言：
博主是个蒟蒻…各类链接跟归纳，
如果有什么问题，可以在留言区询问，
勿喷哦，%%%dalao

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0.csdn数学符号：
#传送门

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1.树链剖分：
#传送门1

#传送门2

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2.组合数各类性质，定理：
#传送门1

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3.位运算：

(1)取出整数N在二进制表示下的第K位:(N>>K) & 1
(2)取出整数N在二进制表示下的第0~K-1位(后K位):N &((1<

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4.树状数组：
#传送门1

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5.欧拉函数：
#传送门1

#传送门2

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6.FFT：
#传送门1

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7.欧几里德算法：
$对于任意a,b，1\le a,b\le N,b̸=0$
则$gcd(a,b)$ $=$ $gcd(b,a$ $mod$ $b)$
证明：
① 当$a\le b$，则,
$gcd(b,a$ $mod$ $b)$ $=$ $gcd(b,a)$ = $gcd(a,b)$
② 当$a\ge b$，则,
设 $a=q\ast b+r$，显然$r=a$ $mod$ $b$。
对于$a,b$的任意一个公约数d，
显然可得出，
$d$ $|$ $a$ 且 $d$ $|$ $b$
因为 $d$ $|$ $b$，所以可得$d$ $|$ $q\ast b$

因为$d$ $|$ $q\ast b$ 且 $d$ $|$ $a$
所以可得 $d$ $|$ ($a-q\ast b$)
即$d$ $|$ $r$，
即$d$ $|$ ($a$ $mod$ $b$)
所以证出，
$a,b$的公约数集合，与$b,a$ $mod$ $ b$的公约数集合是相同的因此，我们可以知道他们的最大公约数相同，即$gcd(a,b)$ $=$ $gcd(b,a$ $mod$ $b)$
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8.拓展欧几里德算法：
贝祖定理：
$对于任意a,b，存在一对整数x,y,满足ax+by=gcd(a,b)$
证明：
①当$b=0$时，显然有一对整数解x = 1,y = 0，使其满足
即$a\ast 1+0\ast 0=gcd(a,0)=a$
ps:任意正整数x，$gcd(x,0)=gcd(0,x)=x$
②当$b>0$时，
因为$gcd(a,b)=gcd(b,a$ $mod$ $b)$ （在第7点时已证
所以当存在一对整数解x,y
满足
$b * x + (a $ $mod$ $b)\ast y=$ $gcd(b,a$ $mod$ $b)$
由于
$b * x + (a $ $mod$ $b)\ast y=$
$b\ast x+(a-b$$\lfloor a/b\rfloor )\ast y=$
$a\ast y-b(-x+$$\lfloor a/b\rfloor \ast y)=$
$a\ast y+b(x-$$\lfloor a/b\rfloor \ast y)$

此时我们可以令，
$x^{\prime }=y$
$y^{\prime }=x-$$\lfloor a/b\rfloor \ast y$
则显然能得到，
$a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }=gcd(a,b)$
所以我们可以在求解gcd的过程中运用数学归纳法，
可以知道贝祖定理成立。

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9.高斯消元：
#传送门1

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10.莫比乌斯反演：
#传送门1

$f(n)={\sum }_{d|n}g(d)<->g(n)={\sum }_{d|n}f(n/d)\mu (d)$
证明：
$g(n)={\sum }_{d|n}f(n/d)\mu (d)$
$={\sum }_{d|n}\mu (d){\sum }_{k|(n/d)}g(k)$
$={\sum }_{k|n}g(k){\sum }_{d|(n/k),d|n}\mu (d)$
因为$gcd(n/k,n)=n/k$，则
$={\sum }_{k|n}g(k){\sum }_{d|(n/k)}\mu (d)$
因为
$n=1$,${\sum }_{d|n}\mu (n)=1$
$n̸=1$,${\sum }_{d|n}\mu (n)=0$
则
当且仅当$n/k=1$时对$g_n$会产生贡献
则$k=n$才对答案有贡献，
贡献仅有$g(n)\ast 1=g_n$，得证
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$f(n)={\sum }_{n|d}g(d)<->g(n)={\sum }_{n|d}\mu (d/n)f(d)$
证明：
$g(n)={\sum }_{n|d}\mu (d/n)f(d)$
$={\sum }_{n|d}\mu (d/n){\sum }_{d|k}g(k)$
$={\sum }_{n|k}{g}_k{\sum }_{d|k,n|d}\mu (d/n)$
设$k=s\ast n,d=c\ast n$，
因为$d|k$，所以有$c|s$，则
$={\sum }_{n|k}{g}_k{\sum }_{c|s}\mu (c)$
因为
$n=1$,${\sum }_{d|n}\mu (n)=1$
$n̸=1$,${\sum }_{d|n}\mu (n)=0$
则
当且仅当$s=1$时对$g_n$会产生贡献
则$k=n$才对答案有贡献，
贡献仅有$g_n\ast 1=g_n$，得证

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11.set
set t —— 定义一个int类型的容器，注意set里的每个元素只会出现1次
t.insert(k) —— 插入元素k，多次插入同一个元素后面无效
t.count(k) —— 判断元素k是否在容器内
t.erase(k) —— 删除元素k，若不存在则删除无效
t.clear() —— 清空容器
t.size() —— 返回容器现有元素个数
t.empty() —— 判断容器是否为空

想遍历set里的元素或进行进一步修改，必须定义对应迭代器，以下三种定义方法（迭代器类似于指针）
set::iterator it —— 定义正向迭代器
set::reverse_iterator rit; —— 定义反向迭代器
auto it = t.begin(); —— 因t.begin()返回正向迭代器，所以it自动被定义为正向迭代器，可适应其他所有操作

以下需要迭代器的操作：
t.begin() —— 返回set中第一个元素，类型为正向迭代器
t.rbegin() —— 返回set中最后一个元素，类型为反向迭代器
t.end() —— 返回set中最后一个元素，类型为正向迭代器
t.rend() —— 返回set中第一个元素，类型为反向迭代器
t.find(k) —— 寻找k，若找到返回对应的迭代器，否则返回end();
t.insert(a, b) —— 插入指针[a, b)之间的元素，已有元素不会再次插入
t.erase(it) —— 删除迭代器it对应的元素
t.erase(l, r) —— 删除迭代器[l, r)之间的元素
lower_bound(k) —— 返回第一个大于等于k的元素的迭代器
upper_bound(k) —— 返回第一个大于k的元素的迭代器

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12.cdp分治：
#传送门1

13.逆元：
当p是个质数的时候有
inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

证明：

14.快速乘：

inline ll ksc(ll x, ll y, ll P){
    ll L=x*(y>>25)%P*(1<<25)%P;
    ll R=x*(y&((1<<25)-1))%P;
    return (L+R)%P;
}

15.欧拉函数.
$\phi (i\ast j)=\phi (j)\ast i$当$i|j$时
证明：
令$j=k\ast i$，
则若$i=p_1^{a_1}\ast p_2^{a_2}\ast ...\ast p_c^{a_c}$
那么$j=k\ast p_1^{a_1}\ast p_2^{a_2}\ast ...\ast p_c^{a_c}$
$\phi (i\ast j)=i\ast j\ast {\pi }_{i=1}^l((p_l-1)/p_l)$
因为对于i的素因子，必定被j包含，而j中的因子k，将k素因数分解以后的p与i中的p不同的值则是j素因数分解下与i不同的p部分
那么对于i*j的素因子而言，显然种类就是等于j的素因子
则$j\ast {\pi }_{i=1}^l((p_l-1)/p_l)=\phi (j)$
那么$\phi (i\ast j)=\phi (j)\ast i$