KNN及其改进算法的python实现

一、 马氏距离

我们熟悉的欧氏距离虽然很有用,但也有明显的缺点。它将样品的不同属性(即各指标或各变量)之间的差别等同看待,这一点有时不能满足实际要求。例如,在教育研究中,经常遇到对人的分析和判别,个体的不同属性对于区分个体有着不同的重要性。因此,有时需要采用不同的距离函数。
  如果用dij表示第i个样品和第j个样品之间的距离,那么对一切ijkdij应该满足如下四个条件:
    ①当且仅当i=j时,dij=0
dij0
dijdji(对称性)
dijdikdkj(三角不等式) 
显然,欧氏距离满足以上四个条件。满足以上条件的函数有多种,本节将要用到的马氏距离也是其中的一种。
  第i个样品与第j个样品的马氏距离dij用下式计算:
dij =(x i x j)'S-1(x ixj)
  其中,x i x j分别为第i个和第j个样品的m个指标所组成的向量,S为样本协方差矩阵。
  马氏距离有很多优点。它不受量纲的影响,两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关;由标准化数据和中心化数据(即原始数据与均值之差)计算出的二点之间的马氏距离相同。马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。它的缺点是夸大了变化微小的变量的作用。举例说明:

两个样本: 
His1 = {3,4,5,6} 
His2 = {2,2,8,4} 

它们的均值为: 
U = {2.5, 3, 6.5, 5} 

协方差矩阵为: 
S = 
| 0.25  0.50  -0.75  0.50  | 
| 0.50  1.00  -1.50  1.00  |  
|-0.75  -1.50    2.25  -1.50  | 
| 0.50  1.00  -1.50  1.00  | 

其中S(i,j)={[His1(i)-u(i)]*[His1(j)-u(j)]+[His2(i)-u(i)]*[His2(j)-u(j)]}/2 
下一步就是求出逆矩阵S^(-1) 
马氏距离 D=sqrt{[His1-His2] * S^(-1) * [(His1-His2)的转置列向量]}
1
)马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的,这一点可以从上述协方差矩阵的解释中可以得出,也就是说,如果拿同样的两个样本,放入两个不同的总体中,最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的,除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同; 
2
)在计算马氏距离过程中,要求总体样本数大于样本的维数,否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在,这种情况下,用欧式距离来代替马氏距离,也可以理解为,如果样本数小于样本的维数,这种情况下求其中两个样本的距离,采用欧式距离计算即可。 
3
)还有一种情况,满足了条件总体样本数大于样本的维数,但是协方差矩阵的逆矩阵仍然不存在,比如A34),B56);C78),这种情况是因为这三个样本在其所处的二维空间平面内共线(如果是大于二维的话,比较复杂)。这种情况下,也采用欧式距离计算。 
4
)在实际应用中总体样本数大于样本的维数这个条件是很容易满足的,而所有样本点出现3)中所描述的情况是很少出现的,所以在绝大多数情况下,马氏距离是可以顺利计算的,但是马氏距离的计算是不稳定的,不稳定的来源是协方差矩阵,这也是马氏距离与欧式距离的最大差异之处。 
综上,我们用python编写了马氏距离,如下:

distances=[]
for i in range(dataSetSize):
    x = numpy.array(dataSet)
    xt=x.T
    D=numpy.cov(xt)
    invD=numpy.linalg.inv(D)
    tp=inX-dataSet[i]
    distances.append(numpy.sqrt(dot(dot(tp,invD),tp.T)))

最后得到的distances就是测试样本和每个训练样本的马氏距离。

二、 wk_NNC算法

wk-NNC算法是对经典knn算法的改进,这种方法是对k个近邻的样本按照他们距离待分类样本的远近给一个权值w

clip_image002

clip_image004是第i个近邻的权值,其中1clip_image006是待测样本距离第i个近邻的距离。

python实现这个算法比较简单:

def wk_knn(inX, dataSet, labels, k):
    dataSetSize = dataSet.shape[0]
    diffMat = tile(inX, (dataSetSize,1)) - dataSet  
    sqDiffMat = diffMat**2
    sqDistances = sqDiffMat.sum(axis=1)  
    distances = sqDistances**0.5 
    sortedDistIndicies = distances.argsort()         
    classCount={}    
    w=[]      
    for i in range(k):
        w.append((distances[sortedDistIndicies[k-1]]-distances[sortedDistIndicies[i]]\
        )/(distances[sortedDistIndicies[k-1]]-distances[sortedDistIndicies[0]]))
        voteIlabel = labels[sortedDistIndicies[i]]
        classCount[voteIlabel] = classCount.get(voteIlabel,0) + w[i]
    sortedClassCount = sorted(classCount.items(), key=operator.itemgetter(1), reverse=True)
    return sortedClassCount[0][0]

 

三、 knnm算法

knnm算法运用了训练样本中的每一个模式,对训练样本的每个类clip_image008

1 ≤ i ≤ c,在每一个类中找出距离测试样本距离最近的k个近邻clip_image010,假设这k个近邻的均值为clip_image012,同样的,i1c变化,我们得到clip_image014,如果clip_image016M当中距离测试样本最近的,则测试样本属于clip_image018类。

       如下图所示,对于一个两类的问题,每个类选三个近邻,类clip_image020*表示,类clip_image022o表示,“Y”是测试样本,则Y属于clip_image022[1]类。

KNN及其改进算法的python实现_第1张图片

python实现如下:

def knnm(inX, dataSet, labels, k):
    dataSetSize = dataSet.shape[0]
    diffMat = tile(inX, (dataSetSize, 1)) - dataSet   #tile repeat inX to (dataSetSize,1)
    sqDiffMat = diffMat ** 2
    sqDistances = sqDiffMat.sum(axis=1)  #sum per row
    distances = sqDistances ** 0.5
    sortedDistIndicies = distances.argsort()
    classCount={}
    classNum={}
    i=0
    while i

四、 实验过程

我在手写字符和约会数集分别作了实验,结果如下(k=7):

约会数集错误率

KNN

WK_KNN

KNNM

马氏距离

6%

6.6%

6.2%

欧氏距离

5.8%

6.2%

6.2%

由于手写字符训练样本协方差矩阵不可逆,因此只能求欧氏距离

手写字符错误率

KNN

WK_KNN

KNNM

欧式距离

1.1628%(k=3最小)

0.9514%(k=5最小)

1.2685%(k=3最小)

五、实验小结

欧式距离比马氏距离计算量小得多,速度快,而且可以看出分类的效果甚至比马氏距离要好,,可以看到,在约会数集中,knn的表现要优于其他两种算法,欧式距离的knn错误率最低,而wk_knn在手写字符识别中有较为出色的表现,相对于其他两种算法,knnm并没有想象中的效果

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