Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（6）—二次曲线的其他性质&不动点与直线

          二次曲线的其他性质&不动点与直线

  现在先介绍点、线和二次曲线之间的一种被称为配极的重要几何关系。

1.极点 一 极线关系

  点 x x 和二次曲线 C C 定义一条直线 l=Cx l = C x ， l l 称为 x x 关于 C C 的极线 ，而点 x x 称为 l l 关于 C C 的极点。

• 点 x x 关于二次曲线 C C 的极线 l=Cx l = C x 与 C C 交于两点。 C C 的过这两点的两条切线相交于 x x 。其关系如下图：
          

图1极点—极线关系图 图 1 极 点 — 极 线 关 系 图

• 如果点 x x 在 C C 上 ， 则它的极线就是二次曲线过 x x 点的切线。

定义 1  对射是 IP2 I P 2 点到 IP2 I P 2 线的可逆映射并用一个 3X3 非奇异矩阵 A A 表示为 l=Ax l = A x 。

• 共轭点  如果点 y y 在极线 l=Cx l = C x 上，则 yTl=yTCx=0 y T l = y T C x = 0 。满足 yTCx=0 y T C x = 0 的任何两点 x x ， y y 称关于二次曲线 C C 共轭。
• 如果 x x 在 y y 的极线上 ， 那么 y y 也在 x x 的极线上。

2.二次曲线的分类

二次曲线的射影标准形式

  任何二次曲线都射影等价于一个由对角矩阵表示的二次曲线。二次曲线 D D 最终被变为具有矩阵 diag(ε1,ε2,ε3) d i a g ( ε 1 , ε 2 , ε 3 ) 的二次曲线，其中 εi=±1 ε i = ± 1 或 0 0 。

对角线	方程	二次曲线类型
(1,1,1) ( 1 , 1 , 1 )	x2+y2+w2=0 x 2 + y 2 + w 2 = 0	假二次曲线——无实点
(1,1,−1) ( 1 , 1 , − 1 )	x2+y2−w2=0 x 2 + y 2 − w 2 = 0	圆
(1,1,0) ( 1 , 1 , 0 )	x2+y2=0 x 2 + y 2 = 0	单个实点 (0,0,1)T ( 0 , 0 , 1 ) T
(1,−1,0) ( 1 , − 1 , 0 )	x2−y2=0 x 2 − y 2 = 0	两条直线 x=±y x = ± y
(1,0,0) ( 1 , 0 , 0 )	x2=0 x 2 = 0	单条直线 x=0 x = 0 计两次

二次曲线的仿射分类

  在欧氏几何中， (非退化或真)二次曲线可以分为双曲线、椭圆和抛物线。在射影几何中三种类型的二次曲线与 l∞ l ∞ 的关系如下图所示：
           

图2点二次曲线的仿射分类 图 2 点 二 次 曲 线 的 仿 射 分 类

  图2中，二次曲线是 (a) ( a ) 椭圆， (b) ( b ) 抛物线， (c) ( c ) 双曲线。它们与 l∞ l ∞ 的关系 : (a) ( a ) 无实交点、 (b) ( b ) 相切(2 点接触)、 (c) ( c ) 有 2 个实交点。

3.不动点与直线

  变换的一个特征矢量对应一个不动点 ，因为对于特征值 λ λ 及其对应的特征矢量 e e 有：

He=λe H e = λ e

  而 e e 和 λe λ e 表示同一点。类似的推导可以用于不动直线，它对应于 HT H T 的特征矢量。

欧氏矩阵

  两个不动理想点是虚圆点 I I ， J J 组成的复共轭对，相对应的特征值是： {eiθ,e−iθ} { e i θ , e − i θ } ,这里 θ θ 是旋转角。对应予特征值 l l 的第三个特征矢量，称为极点。欧氏变换等价与绕该点转 θ θ 角的纯旋转并且没有平移。
  一种特殊的情况是纯平移(即 θ=0 θ = 0 ) 。 这时特征值三重退化，穷远线点点不动，且有一束过点 (tx，ty,0)T ( t x ， t y , 0 ) T 的不动直线，该点对应于平移方向。

相似矩阵

  两个不动理想点仍是虚圆点，特征值是： {1seiθse−iθ} { 1 s e i θ s e − i θ } 。相似变换的作用可以理解为绕它的有限不动点的旋转和取 s s 为因子的均匀缩放。注意虚圆点的特征值仍然表征旋转角。

仿射矩阵

  两个不动理想点可以是实或复共轭的，但在任何一种情况下，过这些点的不动直线 l∞=（0,0,1）T l ∞ = （ 0 , 0 , 1 ） T 是实的。