ICG博弈_威佐夫博弈（Wythoff Game）及证明

复仇记第二篇，ICG博弈中的威佐夫博弈，它比巴什博弈更复杂，同样感谢博客https://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6638943

如果没有了解过巴什博弈的，建议先阅读上一篇巴什博弈：巴什博弈及证明

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威佐夫博弈（Wythoff Game）

  有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。（假设A、B两人游戏，且A先行）

  与巴什博弈思路一致，我们先找出必败态！(在此感叹号我们表示高兴，不表示阶乘)。找必败态的方法可以根据游戏规则一步步推算 或者 找出游戏规律，一大步一大步推算，由于后面证明的篇幅可能很长，所以找出必败态的过程在此不再说明，请阅读大神的文章：
  大神链-SG函数
  方法链-博弈论总结

 
   现在我们约定用（x，y）代表两堆物品中剩下的数量状态，假设你已经知道如何找失败态了，而失败态是：(0,0)，(1,2)，(3,5)，(4,7)，(6,10)，(8,13)……，为了猜想推算式，我们用 （a_n，b_n）表示第n个失败态中两堆石子剩下a_n和b_n，根据高中数学数列的思想，我们大胆假设，小心求证地猜想b_n = a_n + n。

证明

   观测到，由于a_n和b_n都是递增的，要先证明这一点。
  命题1： a_n+1=前n组必败态中未出现过的最小正整数
  证明：根据SG函数可知，SG(x) = mex(S)，其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合，mex(S)表示最小的不属于这个集合的非负整数，因此a_n+1=前n组必败态中未出现过的最小正整数。

  命题2： 如果（a_n，b_n）为必败态，则b_n = a_n + n
  证明：使用归纳法，假设前k个必败态为（a_k，a_k+k），则第k+1个失败态为（a_k+1，a_k+1+k+1）。由SG性质可知，失败态的下一步一定为必胜态，而根据游戏规则，对于（a_k+1，a_k+1+k+1），我们有3种取法，分别是从左边拿走m、从右边拿走m和同时从两堆中拿走相同数量的m，只要证明这3种取法留下的局面都是必胜态即可。
  ①A从左边拿走m：此时留给B（a_k+1 - m，a_k+1+k+1）的局面。根据命题1我们知道，a_k+1 > a_k，b_k+1 > b_k，当从a_k+1拿走m后，我们可以找到一个对应的p < k+1，使得a_p ≤ a_k+1 - m，同时b_p = a_p + p < (a_k+1+k+1-m) < (a_k+1+k+1)，所以B只要确定a_p后，再从右边的a_k+1+k+1拿走一些成为b_p （注意，拿走后b_p不一定大于a_p），必败态（a_p，b_p）【这里不分大小】又留给了A，所以从左边拿走m后的局面是必胜态。
  ②A从右边拿走m，此时留给B（a_k+1，a_k+1+k+1 - m）的局面。这里分3种情况，第1种是m比较小(m < k+1)，保持着a < b，同理，拿走后有一个p < k+1 使得b_p ≤ b_k+1 - m，也有一个a_p = b_p - p < (a_k+1+k+1 - m) < a_k+1，因此（a_k+1，a_k+1+k+1 - m）可以从某一边或者同时两边取走一些，变成（a_p ，b_p）必败态留给A。第2种是m=k+1，此时留给B的局面是（a_k+1，a_k+1），B只需要同时取走a_k+1留下（0，0）必败态给A即可。第3种是m比较大(m>k+1)，取走后b_k+1 < a_k+1，此时调换一下位置变成（b_k+1，a_k+1）再使用①即可，必败态又留给A。
  ③同时从两堆中拿走相同数量的m，此时留给B（a_k+1 - m，a_k+1+k+1 - m）的局面，根据①可知， 存在a_p ≤ a_k+1 - m ，b_p < (a_k+1+k+1-m) ，所以B可以从某一边或者同时从两边取走一些把（a_k+1 - m，a_k+1+k+1 - m）变成（a_p，b_p）的必败态留给A。
  综上所述，对于（a_k+1，a_k+1+k+1）无论怎么走，下一步都是必胜态，因此（a_k+1，a_k+1+k+1）为必败态，所以 b_n = a_n + n成立。这个证明确实比较复杂，需要慢慢细细地思考。

  归根到底，b_n = a_n + n只是一个递推式，要从根点（0，0）开始才能获得某个失败态，比如给你一个局面（101，234），你无法判断局面输赢，虽然你可以得到234=101+133，但是不能判断a[133]是否等于101我们是不知道的，因此我们需要找出a[n]或者b[n]的通项公式，就可以随便根据一个局面（x，y）去判断全局输赢了。

  要找出a_n或者b_n的通项公式，涉及到Beatty序列，Beatty序列在此不再详细介绍，简单而言，由α、β两个无理数构成1/α + 1/β = 1，取n为任意正整数且a_n= ⌊α*n⌋，b_n= ⌊β*n⌋（⌊x⌋代表向下取整），序列a_n和b_n就称为Beatty序列，和Beatty定理对比，发现我们的a_n和b_n完全符合Beatty序列的性质，所以可以从Beatty定理中计算出α、β，从而得到a_n或者b_n的通项公式，计算过程如下：
  已知Beatty序列：a_n= ⌊α*n⌋，b_n= ⌊β*n⌋，而b_n = a_n + n = ⌊α*n⌋ + n = ⌊（α+1）*n⌋，于是β = （α+1），代入1/α + 1/β = 1，解得α =（1+√5）/ 2 ≈ 1.618，这个数字就是黄金比例数！！

  宿命论说：一切冥冥之中自有安排（虽然比较消愁，不过用在这里很合适），自然界中的事物确实有着某种人类未知的联系，这种联系是宇宙大爆炸后就存在的，人类不能创造，只能发现它，在威佐夫博弈中居然出现了一个与此毫不相关的黄金比例，真是令人惊讶，第一个计算出这个结果的人会不会刷新TA的世界观。

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判断方法

  因此，a_n的通项公式为：a_n = ⌊n *（1+√5）/ 2⌋，一般（1+√5）/ 2 ≈ 1.618，直接取1.618
  所以，对于任一个局面（a，b），假设an = a_n + n，也可以根据 b_n \ a_n = 1.618，小白根据后者列出算法，有2种：
  ①确定a，于是要算出b‘与原来的b比较是否相等，由于 b’ / a = 1.618，因此 b‘ = a * 1.618，因为1.618是比（1+√5）/ 2小，结果会偏小，所以这里要向上取整，也就是b’ = ⌈ a*1.618 ⌉，如果 b==b’为真，则（a，b）为必败态，否则为必胜态。
  ②确定b，于是要算出a’与原来的a比较是否相等，因此a’ = b \ 1.618，因为1.618是比（1+√5）/ 2小，结果会偏大，所以这里要向下取整，也就是a’ = ⌊b \ 1.618⌋，如果a==a’为真，则（a，b）为必败态，否则为必胜态。

  小白也许描述得不够清楚，因此各位有必要访问一下大牛：威佐夫博弈，Beatty定理和黄金分割数

 
  此文为威佐夫博弈，还有最后一篇尼姆博弈。