Offer题9 斐波那契数列&青蛙跳台&矩形覆盖

1. 斐波那契数列（面试题9）
2. 青蛙跳台/变态青蛙跳台（变形1） 
3. 矩形覆盖（变形2）

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1.斐波那契数列（面试题9）

题目：写一个函数，输入n，求斐波那契（Fibonacci）数列的第n项。斐波那契数列的定义如下：

公式如下：

• 有公式自然很简单，但是这道题的重点在于时间复杂度，递归的时间复杂度是O(2^n)，循环的时间复杂度度是O(n)，要用哪种写法显而易见
• 下面给出的代码还有一种O(logn)的实现方式，但是对于这个类型的问题我觉得太复杂了，看看就行，其采用的方法如下：
• 用后面这个公式递归计算
  

#include
#include
using namespace std;
long long Fibonacci_Recursive(unsigned int n)
{
    if(n<=0) return 0;
    if(n==1) return 1;
    return Fibonacci_Recursive(n-1)+Fibonacci_Recursive(n-2);
}
long long Fibonacci_Iterative(unsigned int n)
{
    if(n==0) return 0;
    if(n==1) return 1;
    long long FibN=0,FibSecond=1,FibFirst=0;
    for(unsigned i=2;i<=n;++i)
    {
        FibN = FibSecond + FibFirst;
        FibFirst = FibSecond;
        FibSecond = FibN;
    }
    return FibN;
}

struct Matrix2By2 //矩阵定义
{
	long long m_00;
	long long m_01;
	long long m_10;
	long long m_11;
	Matrix2By2(
		long long m00 = 0,
		long long m01 = 0,
		long long m10 = 0,
		long long m11 = 0
		):m_00(m00),m_01(m01),m_10(m10),m_11(m11){}
};
Matrix2By2 MatrixMultiply(const Matrix2By2 &matrix1,const Matrix2By2 &matrix2) //矩阵相乘
{
	return Matrix2By2(
		matrix1.m_00*matrix2.m_00 + matrix1.m_01*matrix2.m_10,
		matrix1.m_00*matrix2.m_01 + matrix1.m_01*matrix2.m_11,
		matrix1.m_10*matrix2.m_00 + matrix1.m_11*matrix2.m_10,
		matrix1.m_10*matrix2.m_01 + matrix1.m_11*matrix2.m_11
		);
}
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned n) //矩阵的幂运算
{
	Matrix2By2 matrix;
	if(n==1)
		matrix = Matrix2By2(1,1,1,0);
	else if(n%2 == 0){
		matrix = MatrixPower(n/2);
		matrix = MatrixMultiply(matrix,matrix);
	}else if(n%2 == 1){
		matrix = MatrixPower((n-1)/2);
		matrix = MatrixMultiply(matrix,matrix);
		matrix = MatrixMultiply(matrix,Matrix2By2(1,1,1,0));
	}
	return matrix;
}
long long Fibonacci_MatrixRecursive(unsigned n)
{
    if(n==0) return 0;
    if(n==1) return 1;
	Matrix2By2 result = MatrixPower(n-1);
	return result.m_00;
}
int main()
{   
    clock_t start,step1,step2,step3;
    const unsigned num=10; 
    start = clock();
    //Test1
    cout<

测试用例：

• 功能测试（如输入3、5、10等）
• 边界值测试（如输入0、1、2）
• 性能测试（输入较大数字，如40、50、100）

斐波那契的变形题目如下：

2.青蛙跳台/变态青蛙跳台（变形1） 
题目：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶共有多少种跳法。

分析思路：

1. 如果只有1级台阶：1种跳法；如果只有2级台阶：2种跳法；
2. 如果有n级台阶：
   • 假设第一次跳1级，则跳法等于剩下（n-1）级的跳法
   • 假设第一次跳2级，则跳法等于剩下（n-2）级的跳法
   • 因此：f(n) = f(n-1)+f(n-2)   n>2时
3. 显然这是个斐波那契问题

再变形题目：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2 级……它也可以跳上n 级，此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

分析思路： 

1. 假设有n级台阶有f(n)种跳法，若n=1，f(1)=1
2. 若n=2,f(2)=f(1)+1，这个1代表可以直接到达
3. 若n=3，f(3)=f(2)+f(1)+1;
4. 同理，错位相减法
   • 当n=n时，f(n)=f(n-1)+f(n-2)+……+f(2)+f(1)+1;
   • 当n=n-1时，f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+……+f(2)+f(1)+1;
   • 两式相减，f(n)-f(n-1)=f(n-1)  =>  f(n) = 2*f(n-1)=2²*f(n-2)=……=2^(n-1);
5. 由以上数学归纳得，f(n)=2^(n-1);

3.矩形覆盖（变形2）
题目：用2×1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用8个2×1的小矩形无重叠的覆盖一个2×8的大矩形，共有多少种方法

分析思路：

1. 设覆盖2×8的方法为f(8)
   • 若第一个竖着放，则接下来要计算覆盖2×7的方法f(7)
   • 若第一个横着放，则其下方必定是横着放一个2×1，接下来要计算覆盖2×6的方法f(6)
   • 因此f(8) = f(7)+f(6)
2. 根据以上分析，这是一个类似斐波那契数列的问题，需确定出f(1)=1，f(2)=2;

#include
#include
using namespace std;

long long FrogJump_Recursive(unsigned int n) //普通递归
{
    if(n<1) throw exception("input error");
    if(n==1) return 1;
    if(n==2) return 2;
    return FrogJump_Recursive(n-1)+FrogJump_Recursive(n-2);
}
long long FrogJump_Iterative(unsigned int n) //循环,青蛙跳台
{
    if(n<1) throw exception("input error");
    if(n==1) return 1;
    if(n==2) return 2;
    long long FrogN=0,FootStep1=1,FootStep2=2;
    for(unsigned i=3;i<=n;++i)
    {
        FrogN = FootStep2 + FootStep1;
        FootStep1 = FootStep2;
        FootStep2 = FrogN;
    }
    return FrogN;
}
long long  FrogJumpN_Iterative(unsigned n) //变态青蛙跳台
{
	if(n>0)
		return pow(2,n-1);
	else
		return -1;
}
long long SmallRectangleCoverBigRectangle(unsigned n) //n代表2×n
{
	if(n==1) return 1;
	if(n==2) return 2;
	long long MethodN=0,MethodTwo=2,MethodOne=1;
	for(int i=3;i<=n;++i)
	{
		MethodN = MethodTwo+MethodOne;
		MethodOne = MethodTwo;
		MethodTwo = MethodN;
	}
	return MethodN;
}
int main()
{   
    const unsigned num=8; 
    //Test1
    cout<