考研数学之高等数学知识点整理——3.函数的连续性

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三、函数的连续性

1 函数的连续性定义

• ① 设函数y=f(x)在点x₀的某一邻域内有定义，如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$，那么称函数f(x)在点x₀连续。若$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$，则称f(x)在x₀右连续；若$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0)$，则称f(x)在x₀左连续。
• ② 如果对于∀x₀∈(a,b)，f(x)在x₀连续，则称f(x)在(a,b)内连续。
• ③ 如果f(x)在(a,b)内连续，且在点x=a右连续，在点x=b左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续。
  

2 函数的间断点分类

3 连续函数的运算性质

• ① 若函数y=f(x)，g(x)在点x₀处连续，则$f(x)\pm g(x)$，$f(x)\cdot g(x)$，$\frac{f(x)}{g(x)}[g(x_0)̸=0]$在点x₀处仍连续。
• ② 设函数y=f(u)在点u=u₀处连续，函数u=φ(x)在点x₀处连续，且φ(x₀)=u₀，则复合函数y=f(φ(x))在点x=x₀处连续。
• ③ 在区间(a,b)内的单调连续函数，其反函数在其相应区间内仍是单调连续函数。
• ④ 基本初等函数在其定义域内都是连续的；一切初等函数在其有定义的区间内都是连续的。
  

4 闭区间上连续函数的性质

• ① 有界性与最大值最小值定理
  设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么f(x)在[a,b]上有界且一定能取得最大值和最小值，即存在正数N>0，使|f(x)|≤N，以及在闭区间[a,b]上有两点ξ₁，ξ₂，使得f(ξ₁)=m，f(ξ₂)=M，其中m，M分别是f(x)在[a,b]上的最小值和最大值。
  

• ② 介值定理
  设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C。

  • 推论
    设f(x)在闭区间[a,b]上连续，m，M分别是f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，则对任意常数C，m≤C≤M，必存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=C。
    

• ③ 零点定理
  设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)<0，那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0;