（数论六）关于欧拉(定理、公式、函数、降幂)
最最开始的时候，我以为欧拉函数，欧拉定理，欧拉公式是一个东西，傻傻分不清。傻笑～
后来知道，这完完全全是三种东西！！要说有啥必然的联系，它们可能都叫欧拉吧～
首先，我们来讲一下三者的定义：
欧拉定理：若n,a为正整数且互质，则a^(Φ(n)) = 1 (mod n)
欧拉公式：e^(i✖️x) = cos(x) + i✖️sin(x) （例如把x = π带进去，得e^(i✖️π) = -1）
欧拉函数：Φ(n)，用于求1～n中与n互质的个数，若n为质数，那么Φ(n) = n - 1
欧拉降幂：我们知道当幂特别大的时候可以用快速幂来求，而当幂大到10^1000时快速幂也求不了了。。这时候就需要用到欧拉降幂，它的定理如下（前提是a，p互质）：
a^b ≡ a^(b % Φ§ + Φ§) (mod p)，当x >= p时
a^b ≡ a^(b % Φ§) (mod p)，当x < p时
关于欧拉公式在ACM中我还没有做过相关的题，因此先只讲欧拉函数和欧拉降幂，欧拉定理
一.关于欧拉定理没什么好说的～
之前我们说过一嘴费马小定理：a ^ (p - 1 ) ≡ 1 (mod p)
又说过当p为素数时Φ§ = p - 1，因此欧拉定理实际上是费马小定理的推广
二.关于欧拉函数的求解，我们知道n为质数的情况了，若n为合数呢？
学到了以下四种求法n的欧拉函数：
1.利用容斥原理：
我们先找到n的全部质因子，然后利用容斥原理删掉全部的因子，剩下的就是与n互质的个数
例如30 = 2✖️3✖️5
Φ(30) = 30 - 30 / 2 - 30 / 3 - 30 / 5 + 30 / (2✖️3) + 30 / (2✖️5) + 30 / (3✖️5) - 30 / (2✖️3✖️5)
= 8
2.上面的写法很麻烦，下面有种简便的写法：
30 = 30✖️1 / 2 ✖️2 / 3✖️4 / 5 = 8，这样就能自动容斥啦，时间复杂度是O(sqrt(n))
3.埃筛法：
是不是很耳熟！！！对，求素数有埃筛和线筛，求欧拉函数也有埃筛和线筛～，埃筛的原理就是利用方法2～，时间复杂度是O(n✖️sqrt(n))
代码如下：
void getEuler() {
memset(euler, 0, sizeof(euler));
euler[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
if (!euler[i]) {
for (int j = i; j <= N; j += i) {
if (!euler[j]) {
euler[j] = j; //若不存在先初始化
}
euler[j] = euler[j] / i * (i - 1); //实质就是方法2
}
}
}
}
4.线性筛
线性筛，顾名思义就是线性求解1～n的欧拉函数，需用到一下几个性质：
1.当p为素数时，Φ§ = p - 1;
2.当p为素数且i % p ==0时，Φ(i✖️p) = Φ(i)✖️p
3.当p为素数且i % p != 0时，Φ(i✖️p) = Φ(i)✖️(p - 1)
代码如下：
ll phi[N + 5]; //存储欧拉函数
ll prime[N + 5]; //存素数
void Euler() {
phi[1] = 1;
memset(phi, 0, sizeof(phi));
prime[0] = 0;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
if(!phi[i]) { //若i为素数
phi[i] = i - 1;
prime[++prime[0]] = i;
}
for (int j = 1; j <= prime[0] && (ll)i * prime[j] <= N; j++) {
if (i % prime[j]) {
phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
} else {
phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
break;
}
}
}
return;
}
三.欧拉降幂：
根据 a^b ≡ a^(b % Φ§ + Φ§) (mod p)，当x >= p时
a^b ≡ a^(b % Φ§) (mod p)，当x < p时
我们可以得到以下代码：
#define Mod(a, b) a < b? a: a % b + b //重定义取模，按照欧拉定理的条件
map mp; //记忆化存储欧拉函数
//按照欧拉定理的条件进行快速幂
ll qpow(ll x, ll n, ll mod) {
ll res = 1;
while (n)
{
if (n & 1) {
res = Mod(res * x, mod);
n--;
}
x = Mod(x * x, mod);
n >>= 1;
}
return res;
}
//求k的欧拉函数值
ll phi(ll k) {
ll i;
ll s = k;
ll x = k;
if (mp.count(k))
return mp[x]; //记忆化存储
for(i = 2; i * i <= k; i++) {
if (k % i == 0)
s = s / i * (i - 1); //利用方法2
while(k % i == 0)
k /= i;
}
if(k > 1)
s = s / k * (k - 1);
mp[x]=s;
return s;
}
注意！！当快速幂需要用到之前的递归时，也需要迭代模!!!
例如 a[1](a[2](a[3]^(a[4]…)))
LL solve(LL l,LL r,LL mod) {
if (l==r||mod==1) return Mod(a[l], mod); //如果到右端点或者φ值等于1，那么直接返回当前数字
return qpow(a[l], solve(l+1, r, phi(mod)), mod); //否则指数为[l+1,r]区间的结果
}
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