[BZOJ2742]-[HEOI2012]Akai的数学作业-画柿子

说在前面

很简单的一道题啊，然而考试的时候并没有想出来…
明明柿子都画了一半了都还是没看出来…于是暴力枚举跑了20分

考试的时候为了优化常数，把gcd函数写成了short。改题的时候就搞忘了…WA了好几次=A=

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题目

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题目大意

给出一个一元n次方程： a0+a1x+a2x2+⋯+anxn=0
求此方程的所有有理数解

输入输出格式

输入格式：
第一行一个整数n，表示最高次数
第二行n+1个整数，分别代表 a0 到 an

输出格式：
第一行一个整数cnt，表示有理数解的个数
接下来cnt行，每行一个解。解以分数的形式输出，要求化成最简分数，如果是整数则直接输出这个数字。负号只能在分子上，所有解从小到大依次排序后输出。

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解法

所有的有理数都可以写成分数（不要问me为什么，问数学老师去= =）
所以不妨把上面的方程写成这样： a0+a1qp+a2q2p2+⋯+anqnpn=0 ，其中 p,q 互质
把分母乘上去： a0q0pn+a1q1pn−1+a2q2pn−2⋯+anqn=0
对两边同时取模 p ，得到： anqn≡0(modp) （me就是这一步没想出来…）

因为 p,q 互质，所以可以知道 an 一定是 p 的倍数
同理，对两边同时取模 q ，也可以知道 a0 一定是 q 的倍数（ a0≠0 ，不然就是第一个不为0的 ai ）
因此直接枚举每一对互质的 p,q 暴力判断即可…

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下面是自带大常数的代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std ;

int N , a[105] , cnt , mmod = 1e9+7 ;
int d0[1000] , cnt0 , dn[1000] , cntn ;
struct Data{
    int up , down ;
    Data(){} ;
    Data( int up_ , int down_ ):
        up( up_ ) , down( down_ ){} ;
    bool operator < ( const Data &A ) const {
        return 1.0 * up / down < 1.0 * A.up / A.down ;
    }
}ans[1000005] ;

inline int gcd( int a , int b ){
    return !b ? a : gcd( b , a%b ) ;
}

void div( int num , int *b , int &cnt ){
    int i ;
    for( i = 1 ; i * i < num ; i ++ )
        if( num % i == 0 )
            b[++cnt] = i , b[++cnt] = num / i ;
    if( i * i == num ) b[++cnt] = i ;
}

int x[105] , y[105] ;
bool cal( int up , int down ){
    y[0] = x[0] = 1 ;
    for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ){
        x[i] = 1LL * x[i-1] * up %mmod ;
        y[i] = 1LL * y[i-1] * down %mmod ;
    }
    int tmp = 0 ;
    for( int i = 0 ; i <= N ; i ++ )
        tmp = ( 1LL * tmp + 1LL * y[N-i] * a[i]%mmod * x[i]%mmod ) %mmod ;
    return ( tmp == 0 ) ;
}

bool abs_( int x ){
    return x > 0 ? x : -x ;
}

void solve(){
    if( a[0] == 0 ) ans[++cnt] = Data( 0 , 1 ) ;
    for( int i = 0 ; i <= N ; i ++ )
        if( a[i] != 0 ){ div( abs( a[i] ) , d0 , cnt0 ) ; break ; } 
    div( abs( a[N] ) , dn , cntn ) ;

    for( int i = 1 ; i <= cnt0 ; i ++ ){
        for( int j = 1 ; j <= cntn ; j ++ ){
            int y0 = d0[i] , yn = dn[j] ;
            if( gcd( y0 , yn ) != 1 ) continue ;

            if( cal( y0 , yn ) ) ans[++cnt] = Data( y0 , yn ) ;
            if( cal( -1*y0 , yn ) ) ans[++cnt] = Data( -1*y0 , yn ) ;
            if( cal( yn , y0 ) ) ans[++cnt] = Data( yn , y0 ) ;
            if( cal( -1*yn , y0 ) ) ans[++cnt] = Data( -1*yn , y0 ) ;

        }

    }
    sort( ans + 1 , ans + cnt + 1 ) ;
    int tmp = 0 , lasup , lasdn = -1 ;
    for( int i = 1 ; i <= cnt ; i ++ ){
        if( lasup == ans[i].up && lasdn == ans[i].down ) continue ;
        lasup = ans[i].up ; lasdn = ans[i].down ;
        ans[++tmp] = Data( ans[i].up , ans[i].down ) ;
    }

    printf( "%d\n" , tmp ) ;
    for( int i = 1 ; i <= tmp ; i ++ )
        if( abs( ans[i].down ) > 1 ) printf( "%d/%d\n" , ans[i].up , ans[i].down ) ;
        else printf( "%d\n" , ans[i].up*ans[i].down ) ;
}

int main(){
    scanf( "%d" , &N ) ;
    for( int i = 0 ; i <= N ; i ++ )
        scanf( "%d" , &a[i] ) ;
    solve() ;
}