#dp# 2018-2019 ACM-ICPC, NEERC, Southern Subregional Contest, Qualification Stage

K. Medians and Partition

题目链接：http://codeforces.com/gym/101911/problem/K

Let median of some array be the number which would stand in the middle of this array if it was sorted beforehand. If the array has even length let median be smallest of of two middle elements. For example, median of the array. Let array be m-good if its median is greater or equal than m.

Description：

将一组数恰好分割成多组数，对每组数进行排序后，使得每组数的中位数大于等于m，求解最多可以分成多少组数

Solution：

ok[i][j]： 在 [i, j] 这段区间里的中位数是否符合要求，即 ok[i][j] = 1 代表 [i, j] 这段区间的中位数大于等于m
dp[i]：以 i 位置为结尾的区间划分最多可以划分成多少个区间段

先处理出任意一个子区间是否合法，即中位数是否大于等于m。
对于每个结尾的位置 i ，枚举位置每个小段区间的端点 j（也就是这些合法的 j 位置都可以将 [1, n] 这个完整区间分割成多个小段区间）
转移方程：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)；

最后维护一下最大值作为答案即可。

其实对于求解任意一个子区间的中位数时，并不需要具体算出中位数是多少，只要能判断出与 m 的关系即可，比 m 大还是小。
时间复杂度：O(n^2)

发现一种时间复杂度为 O(n) 的做法：
对于每一个小于m的数，让它所在的区间中位数大于等于 m，那么所在区间就至少需要两个大于等于 m 的数字，不需要考虑他们之间的顺序，因为每个数对中位数产生的影响不会因为位置的改变的改变，对于一组数来说排序的结果是唯一的。所以统计出小于 m 的数的个数 cnt 后，n-cnt*2 即为答案。

代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define fi first
#define se second
#define mst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-9;
const int Mod = 1e9 + 7;
const double pi = acos(-1);
const int MaxN = 5e3 + 5;

int a[MaxN];
int ok[MaxN][MaxN];
int dp[MaxN];

int main() 
{
	int n, m;
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int cnt = 0; //记录当前[i,j]这个区间内有多少个数比m小，用来判断中位数与m的大小关系
		for(int j = i; j <= n; j++) {
			if(a[j] < m) cnt++;
			int mid = (j - i + 2) / 2; //中位数是第几个数，也就是“第几大数”
			if(cnt < mid) ok[i][j] = 1; //说明此时的中位数一定大于等于m
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		dp[i] = -INF;
		for(int j = 0; j < i; j++) {
			if(ok[j+1][i]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
		}
	}
	printf("%d\n", max(dp[n], 0));
	return 0;
}

O(n) 的做法：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
 
int main()
{
	int n, m, x, cnt = 0;
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		scanf("%d", &x);
		if(x < m) cnt++;
	}
	printf("%d\n", max(0, n - 2 * cnt));
	return 0;
}