有关图的几个经典算法

一、最小生成树算法

1、Kruskal算法

· 利用最小堆和不相交集来实现

· 最小堆中结点的格式

·在构造最小生成树过程中,取最小堆的根结点，若该边两个顶点不属于同一个连通分量，则取该边，否则拿掉该根结点继续然后接着取最小堆的根结点进行判断。

2、prim算法

· 从连通网络N = {V,E }中的某一顶点u0出发,选择与它关联的具有最小权值的边 ( u0,v ),将其顶点加入到生成树顶点集合U中。

以后每一步从一个顶点在U 中,而另一个顶点不在U 中的各条边中选择权值最小的边(u,v),把它的顶点加入到集合U 中。如此继续下去,直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合 U中为止。

· 使用邻接矩阵或者vector来存储图 

Kruskal算法与prim算法的比较：

· prim算法的时间复杂度为O(n^2),适用于边稠密的网络，（若用邻接矩阵表示）不适用于边稀疏的网络

· Kruskal算法使用于边稀疏的网络

二、最短路径

1、用Dijkstra算法求有向带（非负）权值图的单（多）源最短路径

算法思想略，算法步骤如下：

看图更直观：

每次以不同的顶点为源便可以求得每一对顶点之间的最短路径，时间复杂度为O(n^3)。

2、用Floyd算法求有（无）向带任意权值图的多源最短路径

直接看：Floyd算法

时间复杂度同为O(n^3)，但该算法更直观，更容易实现

注意：若图中存在负权值，但不存在带负权值的回路时，Floyd算法可以正常执行，而Dijkstra算法则不行。

三、拓扑排序

· 在AOV网络中，不能有环

· 检查网络是否有环的方法：对有向图的顶点进行拓扑排序，若若有顶点都在其拓扑有序序列中，则无环。

算法思想（用栈实现）：

1 、在AOV网中选择一个没有前驱的顶点且输出;

2 、在AOV网中删除该顶点以及从该顶点出发的(以该顶点为尾的弧)所有有向弧(边) ;

3、 重复1、2，直到图中全部顶点都已输出(图中无环)或图中不存在无前驱的顶点(图中必有环)。 

时间分析：设有n个顶点，e条边，则时间复杂度为O(n+e)