Spearman秩相关系数

Spearman秩相关系数是一种非参数的统计相关性测度，一般用 ρ 表示，它所衡量的是两个变量有多大程度可以用单调函数描绘。如果没有重复点，且两个变量单调相关时，Spearman相关系数为 +1 或者 −1 。

Spearman相关系数适用于离散、连续以及次序变量。

定义和计算

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Spearman相关系数定义为两个变量的秩统计量间的Pearson相关系数。比如有 n 组观测样本 Xi,Yi ， i=1,2,...,n ，我们对这组观测样本排秩，得到秩统计量 xi,yi ，那么 ρ 的计算公式就为：

ρ=1−6∑d2in(n2−1)

这里 di=xi−yi ，表示两个秩的差。这里如果有变量相同，那么它的秩就是变量从小到大排序后位置的平均值。

解释

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Spearman相关系数介于-1和1之间，相关系数的正负代表自变量 X 和因变量 Y 关系的方向。如果 Y 随着 X 的增大而增大时，Spearman相关系数就为正，反之相关系数为负。Spearman相关系数为0表示 X 增大或者减小时 Y 没有增大和减小的趋势。当任意两对数据 Xi−Xj 和 Yi−Yj 同号，既Y对于X来说严格单调时，Spearman相关系数为 +1 或者 −1 。下面是Spearman完全正相关的一个例子。

一般我们说Spearman相关系数是非参数的包含两层含义：第一，Spearman相关系数和Pearson相关系数不同，它只依赖于函数间的单调关系，而Pearson相关系数依赖与变量间的线性关系。第二，我们可以在不知道 X 和 Y 联合分布的情况下得到它精确的抽样分布。

Pearson相关系数和Spearman相关系数对比

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Pearson相关系数要求数据为连续型数据，而且数据需要满足正态分布，它所衡量的是数据间的线性关系强弱。

Spearman对样本分布没有特殊的要求，而且可以用来衡量次序变量的相关程度，它所衡量的数据间的单调性强弱。

比如，下图中所画出的是 X 和 X 的高阶多项式的相关程度，

可以发现阶数为1时，两种相关系数均为1，随着阶数增加Pearson相关系数开始降低，也就是说 X 和 X 的多项式间线性关系变弱，但由于函数始终保持单调，Spearman相关系数不变。

当数据椭圆分布，没有明显异常值点时，两种相关系数类似。

Spearman相关系数对尾部异常值相对比较敏感。