Python机器学习应用 | 降维——NMF方法及实例

1 非负矩阵分解（NMF）

1、非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization ，NMF）是在矩阵中所有元素均为非负数约束条件之下的矩阵分解方法。
2、基本思想：给定一个非负矩阵V，NMF能够找到一个非负矩阵W和一个非负矩阵H，使得矩阵W和H的乘积近似等于矩阵V中的值。

Vn∗m=Wn∗k∗Hk∗m

W矩阵：基础图像矩阵，相当于从原矩阵V中抽取出来的特征
H矩阵：系数矩阵。
3、NMF能够广泛应用于图像分析、文本挖掘和语音处理等领域。
4、矩阵分解优化目标：最小化W矩阵H矩阵的乘积和原始矩阵之间的差别，目标函数如下：

argmin12||X−WH||2=12∑i,j(xij−WHij)2

5、基于KL散度的优化目标，损失函数如下：

argminJ(W,H)=∑ij(XijlnXijWHij−Xij+WHij)

2 sklearn中非负矩阵分解

在sklearn库中，可以使用sklearn.decomposition.NMF加NMF算法，主要参数有：
• n_components：用于指定分解后矩阵的单个维度k；
• init：W矩阵和H矩阵的初始化方式，默认为‘nndsvdar’。

3 NMF人脸数据特征提取

3.1 背景

已知Olivetti人脸数据共400个，每个数据是64*64大小。由于NMF分解得到的W矩阵相当于从原始矩阵中提取的特征，那么就可以使用NMF对400个人脸数据进行特征提取。
通过设置k的大小，设置提取的特征的数目。在本实验中设置k=6，随后将提取的特征以图像的形式展示出来。

3.2 程序编写

3.2.1 建立工程，导入sklearn相关工具包

>>> import matplotlib.pyplot as plt
#加载matplotlib用于数据的可视化
>>> from sklearn import decomposition
#加载PCA算法包
>>> from sklearn.datasets import fetch_olivetti_faces
#加载Olivetti人脸数据集导入函数
>>> from numpy.random import RandomState
#加载RandomState用于创建随机种子

3.2.2 设置基本参数并加载数据

n_row, n_col = 2, 3 #设置图像展示时的排列情况
n_components = n_row * n_col #设置提取的特征的数目
image_shape = (64, 64) #设置人脸数据图片的大小
dataset = fetch_olivetti_faces(shuffle=True,random_state=RandomState(0))
faces = datasets.data #加载数据，并打乱顺序

3.2.3 设置图像的展示方式

def plot_gallery(title, images, n_col=n_col, n_row=n_row):
    plt.figure(figsize=(2. * n_col, 2.26 * n_row)) 
    plt.suptitle(title, size=16)

    for i, comp in enumerate(images):
        plt.subplot(n_row, n_col, i + 1)
        vmax = max(comp.max(), -comp.min())

        plt.imshow(comp.reshape(image_shape), cmap=plt.cm.gray,
                   interpolation='nearest', vmin=-vmax, vmax=vmax)
        plt.xticks(())
        plt.yticks(())
    plt.subplots_adjust(0.01, 0.05, 0.99, 0.94, 0.04, 0.)

3.2.4 创建特征提取的对象NMF，使用PCA作为对比

estimators = [
    ('Eigenfaces - PCA using randomized SVD',
         decomposition.PCA(n_components=6,whiten=True)),

    ('Non-negative components - NMF',
         decomposition.NMF(n_components=6, init='nndsvda', tol=5e-3))
]

3.2.5 降维后数据点的可视化

for name, estimator in estimators:
    print("Extracting the top %d %s..." % (n_components, name))
    print(faces.shape)
    estimator.fit(faces)
    components_ = estimator.components_
    plot_gallery(name, components_[:n_components])

plt.show()

3.3 结果展示