#4155. 咱们去烧菜吧

题意

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你有 $m$ 种物品，第 $i$ 种物品的大小为 $a_i$，数量为 $b_i$（$b_i=0$ 表示有无限个）。

你还有 $n$ 个背包，体积分别为 $1$ 到 $n$，现在你很想知道用这些物品填满某个背包的方案数。

为了满足你的好奇心，你决定把填满每个背包的方案数都算一遍。

因为你其实只是闲得无聊，所以你只想知道方案数对 $998244353$（$7\times 17\times 2^{23}+1$，一个质数）取模后的值。

$0<n,m\le 10^5,0\le a_i\le 110000,0\le b_i\le 10^6$。

题解

把第 $i$ 个物品的生成函数写出，设 $b_i>0$，即 $F_i(x)={\sum }_{j=0}^{b_i}{x}^{a_i\times j}=\frac{1-x^{a_i\times (b_i+1)}}{1-x^{a_i}}$

那么当 $b_i=0$ 时， $F_i(x)={\sum }_{j=0}^{\infty }{x}^{a_i\times j}=\frac{1}{1-x^{a_i}}$

则最后的答案的生成函数 $G(x)={\prod }_{i=1}^n{F}_i(x)$

两边取对数，即 $\ln G(x)=\ln ({\prod }_{i=1}^n{F}_i(x))={\sum }_{i=1}^n\ln F_i(x)={\sum }_{i=1}^n(\ln (1-x^{a_i\times (b_i+1)})-\ln (1-x^{a_i}))$

又知道 $\ln (1-x^k)={\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{x^{i\times k}}{i}$

所以对于每个 $k$ ，都会对 $x^{i\times k}$ 的系数造成影响，所以这一部分可以 $O(n\ln n)$ 预处理

所以最后做个多项式 $exp$ 即可

#include 
#define I inline
using namespace std;
const int P=998244353,N=5e5+5;
int n,m,a[N],b[N],r[N],t,p,G[2]={3,332748118};
int A[N],B[N],C[N],D[N],E[N],F[N],jc[N],ny[N];
I int X(int x){if (x>=P) x-=P;return x;}
I int inv(int x){return 1ll*jc[x-1]*ny[x]%P;}
I int K(int x,int y){
	int A=1;
	for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)
		if (y&1) A=1ll*A*x%P;
	return A;
}
I void Ntt(int *g,bool o){
	for (int i=0;i>1]>>1)|((i&1)<<(p-1));
}
I void getinv(int *a,int *b,int l){
	if (l==1){
		b[0]=K(a[0],P-2);return;
	}
	getinv(a,b,(l+1)>>1);
	for (int i=0;i>1);
	for (int i=0;i