欧拉路径（欧拉图、半欧拉图）小结

NOIP填坑计划继续。。。

先说说基本概念：
欧拉路径：一条路径在图G中恰好经过每条边一次。

再看看相关概念：
欧拉通路：通过图中所有边的简单路（其实就是每条边经过一次）。
欧拉回路：闭合的欧拉路。
欧拉图：包含欧拉回路的图。
半欧拉图：包含欧拉通路但是不含欧拉回路的图。

接着理解orz(半)欧拉图成立的充要条件：
欧拉图：
无向图G是一个欧拉图当且仅当G连通且所有顶点的度数为偶。
有向图G是一个欧拉图当且仅当G连通且所有顶点的出度等于入度。
半欧拉图：
无向图G是一个半欧拉图当且仅当G连通，仅有两个点度数为奇，其余所有顶点的度数为偶。（可以这样理解：在一个无向的欧拉图G’上加一条无向边成为半欧拉图G）
有向图G是一个半欧拉图当且仅当G连通，存在点u出度比入度大1，点v出度比入度小1，其余所有顶点的出度等于入度。（可以这样理解：在一个有向的欧拉图G’上加一条有向边成为半欧拉图G）

关于混合图的欧拉回路问题：
1.给G所有无向边定向得到新图G’。
*设每个点i的d[i]表示当前点的出度-入度，如果某个点的d为奇数，则直接退出，欧拉回路不存在
2.建立超级源点S，超级汇点T，对于所有d[i] > 0的i点，连边（S，i，d[i]/2）；对于所有d[i] < 0的i点，连边（i，T，d[i]/2）；G’所有有向边流量为1，跑一遍最大流。若S引出的所有边满流则将所有被定向的边反向即得一个欧拉图G”，否则原图G不存在欧拉回路。
*例题：poj 1637 代码实现☜

下面的证明用于帮助理解，个人认为不用深究，大概明白能应用即可。
（以下内容修改自kuangbin）
首先给原图中的每条无向边随便指定一个方向（称为初始定向），将原图改为有向图G’，然后的任务就是改变G’中某些边的方向（当然是无向边转化来的，原混合图中的有向边不能动）使其满足每个点的入度等于出度。

设D[i]为G’中(点i的出度 - 点i的入度）。可以发现，在改变G’中边的方向的过程中，任何点的D值的奇偶性都不会发生改变（设将边（i, j）改为（j, i），则i入度加1出度减1，j入度减1出度加1，两者之差加2或减2，奇偶性不变）！而最终要求的是每个点的入度等于出度，即每个点的D值都为0，是偶数，故可得：若初始定向得到的G’中任意一个点的D值是奇数，那么原图中一定不存在欧拉环！

若初始D值都是偶数，则将G’改装成网络：设立源点S和汇点T，对于每个D[i] > 0的点i，连边（S, i），容量为D[i]/2；对于每个D[j]<0的点j，连边（j, T），容量为-D[j]/2；舍弃原有的有向边，所有被定向的边（a，b）的容量为1（与原文不同！！！）（表示该边最多只能被改变方向一次）。求这个网络的最大流，若S引出的所有边均满流，则原混合图是欧拉图，将网络中所有流量为1的中间边（就是不与S或T关联的边）在G’中改变方向，形成的新图G”一定是有向欧拉图；若S引出的边中有的没有满流，则原混合图不是欧拉图。

为什么能这样建图？
考虑网络中的一条增广路径S–>i–>…–>j–>T，将这条从i到j的路径在G’中全部反向，则：i的入度加1出度减1，j的入度减1出度加1，路径中其它点的入度出度均不变。而i是和S相连的，因此初始D[i] > 0，即i的出度大于入度，故这样反向之后D[i]减少2；同理，j是和T相连的，这样反向之后D[j]增加2。因此，若最大流中边（S, i）满流（流量为初始D[i]/2），此时D[i]值就变成了0，也就是i的入度等于出度。因此只要使所有S引出的边全部满流，所有初始D值>0的点的D值将等于0，又因为将边变向后所有点的D值之和不变，所有初始D值小于0的点的D值也将等于0，而初始D值等于0的D点既不与S相连也不与T相连，所以它们是网络中的中间点，而中间点的流入量等于流出量，故它们的入度和出度一直不变，即D值一直为0。因此，整个图G’成为欧拉图。