BZOJ3162：独钓寒江雪 （Hash判断树同构+树形DP+组合数学）

题目传送门：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3162

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题目分析：一道很厉害的题，让我知道原来Hash还可以判断两棵树的形态是否相同。

这题的具体做法还是看VFK的题解吧，我表示只能orz。用简单的话概括一下题解的内容就是：

1.定义重心为树的直径的中点。如果树的直径长度为偶数，就在最中间的边上加一个虚点作为重心。
2.以重心为根变成有根树，然后对括号序列Hash+排序，判断两棵子树是否同构。
3.设某个点所有儿子的子树集合为 ∑x(cx,nx) ∑ x ( c x , n x ) ，其中 (ci,ni) ( c i , n i ) 表示形态为 ci c i 的子树有 ni n i 棵。由于不同的形态的子树互不影响，所以问题变成了如何计算 (ci,ni) ( c i , n i ) 的对当前节点的贡献。根据组合数，值域为 [1,n] [ 1 , n ] 的 m m 个数的组合方案为 Cmn+m−1 C n + m − 1 m 。
4.每个点设两个值 f,g f , g ，分别表示选或不选这个点时，其子树的方案数。然后用组合数学+DP，分类讨论一下即可维护。

最后总结一下我已知道的关于组合数的一些东西：
①n个不同的球放进m个不同的盒子里： mn m n 。
②n个相同的球放进m个不同的盒子里：将所有盒子和球任意打乱排成一列，并令最后一个必为盒子，然后每个盒子获得它前面一个盒子到它之间的球，最后对所有盒子从左到右编号为1~m。可知这样的方案数为 Cm−1n+m−1 C n + m − 1 m − 1 。
③值域为[1,n]的m个数的组合方案数：可以直接看成m个相同的数分到编号为1~n的n个集合里，然后化为②。VFK的pdf里给出了另一种解释：令 a1≤a2……≤am a 1 ≤ a 2 … … ≤ a m ，则 a1+1<a2+2……<am+m a 1 + 1 < a 2 + 2 … … < a m + m 。每种后一个序列唯一对应前一个序列。于是变为值域在 [2,n+m] [ 2 , n + m ] 中选m个不同的数，故方案数也是 Cmn+m−1 C n + m − 1 m 。
④n个相同的球放进m个相同的盒子里：贝尔数，即第二类stirling数的前缀和。

最后，说下这题的一些注意点。首先是Hash值排序时，要将大的值排前面，因为这样深度大的点权值会变大，不容易冲突。另外，判断两棵子树是否同构，不仅要Hash值相等，还要判 f,g f , g 值是否相等，这样可以降低冲突概率。原树的重心为一条边的时候，要注意判断左右两棵子树是否同构。这题的样例挺强的，过了样例应该就能1A了QAQ。

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CODE：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int maxn=500100;
const long long M=1000000007;
typedef long long LL;

struct edge
{
    int obj;
    edge *Next;
} e[maxn<<1];
edge *head[maxn];
int cur=-1;

LL Two[maxn];
LL nfac[maxn];

LL Hash_val[maxn];
int Len[maxn];

vector <int> Son[maxn];

LL f[maxn];
LL g[maxn];

int d[maxn];
int len;

int fa[maxn];
int dep[maxn];
int n;

void Add(int x,int y)
{
    cur++;
    e[cur].obj=y;
    e[cur].Next=head[x];
    head[x]=e+cur;
}

void Find(int node)
{
    for (edge *p=head[node]; p; p=p->Next)
    {
        int son=p->obj;
        if (son==fa[node]) continue;

        fa[son]=node;
        dep[son]=dep[node]+1;
        Find(son);
    }
}

bool Comp(int x,int y)
{
    return (Hash_val[x]>Hash_val[y]);
}

bool Judge(int x,int y)
{
    return ( Hash_val[x]==Hash_val[y] && f[x]==f[y] && g[x]==g[y] );
}

LL Get(LL n,LL m)
{
    n=n+m-1LL;
    LL ans=1;
    for (LL i=0; ireturn ans;
}

void Work(int node,int Fa)
{
    Len[node]=0;
    f[node]=g[node]=1;
    for (edge *p=head[node]; p; p=p->Next)
    {
        int son=p->obj;
        if (son==Fa) continue;
        Son[node].push_back(son);
        Work(son,node);
    }
    if (!Son[node].size())
    {
        Len[node]=2;
        Hash_val[node]=1;
    }
    else
    {
        int k=Son[node].size();
        sort(Son[node].begin(),Son[node].begin()+k,Comp);
        Len[node]=1;
        LL &v=Hash_val[node];
        v=0;
        for (int i=0; iint x=Son[node][i];
            v=(v*Two[ Len[x] ]%M+Hash_val[x])%M;
        }
        v=((v<<1)|1)%M;

        int head=0;
        while (headint tail=head;
            int x=Son[node][head];
            while ( tailint num=tail-head;
            f[node]=f[node]*Get(g[x],num)%M;
            g[node]=g[node]*Get( (f[x]+g[x])%M ,num)%M;
            head=tail;
        }
    }
}

int main()
{
    freopen("3162.in","r",stdin);
    freopen("3162.out","w",stdout);

    scanf("%d",&n);
    for (int i=1; i<=n; i++) head[i]=NULL;
    for (int i=1; iint x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        Add(x,y);
        Add(y,x);
    }

    dep[1]=1;
    Find(1);

    int root=1;
    for (int i=2; i<=n; i++)
        if (dep[i]>dep[root]) root=i;

    fa[root]=0;
    dep[root]=1;
    Find(root);

    int bot=1;
    for (int i=2; i<=n; i++)
        if (dep[i]>dep[bot]) bot=i;
    len=0;
    while (bot!=root) d[++len]=bot,bot=fa[bot];
    d[++len]=root;

    nfac[0]=nfac[1]=1;
    for (int i=2; i<=n; i++)
    {
        LL x=M/i,y=M%i;
        nfac[i]=M-x*nfac[y]%M;
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) nfac[i]=nfac[i-1]*nfac[i]%M;
    Two[0]=1;
    for (int i=1; i<=n; i++) Two[i]=(Two[i-1]<<1)%M;

    if (len&1)
    {
        root=d[(len+1)>>1];
        Work(root,0);
        f[root]=(f[root]+g[root])%M;
        printf("%I64d\n",f[root]);
    }
    else
    {
        root=d[len>>1];
        bot=d[(len>>1)+1];
        Work(root,bot);
        Work(bot,root);
        LL ans;
        if ( Judge(bot,root) )
            ans=(Get( (f[bot]+g[bot])%M ,2LL)-Get(f[bot],2LL)+M)%M;
        else ans=(f[bot]*g[root]%M+g[bot]*f[root]%M+g[bot]*g[root]%M)%M;
        printf("%I64d\n",ans);
    }

    return 0;
}