算法——回溯法（八皇后问题）

 

 

 

 

回溯法是比枚举法更加高效的一种算法思想，直接枚举法的优点是思路和程序都很简单，缺点在于无法简便地减小枚举量——必须生成所有可能的解，然后一一检查。在递归构造中，生成和检查过程可以有机的结合起来，从而减少不必要的枚举。当把问题分成若干步骤并递归求解时，如果当前步骤没有合法选择，则函数将返回上一级递归调用，这种现象称为回溯。八皇后问题是回溯法的最直接应用。

 

【问题描述】：在国际象棋中，皇后作为最有威力的棋子，横、竖、斜都可以走，步数不受限制。在棋盘上放置8个皇后，使得它们互不攻击，此时每个皇后的攻击范围为同行同列同对角线，要求找出所有的解。

 

【分析】：比较简单的思路是把问题转化为“从64个格子中选8个格子”，这是组合生成问题，最终的结果会很大，这并不是一个很好的模型。经过思考，不难发现以下事实：恰好每行每列各放置一个皇后。如果C[x]表示第x行皇后的列编号，则问题变成了全排列生成问题。而0~7的排列一共只有8！=40320个，枚举量不会超过它。

【程序】：

void show() 
{
     for(int i=0;i

 

 

 

所谓回溯法，一定要有递归的终止条件。八皇后问题每次递归的终止条件为行数等于8。如果递归的行数达到8，则解法自加1，并将解法中各皇后的坐标进行打印。先定义全局变量max=8，sum为解法的数量，s[8]表示皇后的位置。x表示行数，上述代码将皇后逐行放置，因此皇后肯定不会横向攻击，故只需检查是否纵向和斜向攻击即可。然后对每行的八个位置的合法性进行检查，条件”s[x]==s[i]“用来判断皇后是否在同一列，条件“x-s[x]==i-s[i] || x+s[x]==i+s[i]”用来判断皇后是否在同一对角线上。其原理如下图所示：

 

 

 

 

 

 

【优化】：该程序可以对判断皇后合法性的条件进行进一步简化，程序效率可以继续提高。利用二维数组vis[2][]直接判断当前位置所在的列和两个对角线是否已有其它皇后。

void eightQueens(int x)
{
	if(x==max){
		sum++;
		show();
	}
	else for(int j=0;j

定义全局变量vis[3][15]，vis[0]表示列，vis[1]表示副对角线，vis[2]表示主对角线。相应的，根据上面的图可知，vis[0][8]中，8代表共有8列，vis[1][15]中，15代表副对角线共有15条，同理，vis[2][15]中，15也代表主对角线共有15条。用j+x表示副对角线，取值为0~14；用j-x表示主对角线，取值为-7~7，同时加上7，即max-1，取值变为0~14。若三个变量同时为0，则该位置合法，放置皇后之后，将该位置所代表的列、主对角线、副对角线全部设为1。当递归完毕，返回上一层后，再将该位置设为0，在这一行上寻找下一个合法位置。利用二维数组，有效地避免了每次判断皇后位置合法性时的遍历时间，提高了程序的效率。