线性代数的本质（五）——逆矩阵、列空间与零空间

我们知道，线性方程组可以改写成矩阵向量乘法的形式。

矩阵 $A$ 代表一个线性变换，求解 $Ax=v$ 意味着我们去寻找一个向量 $x$，使它在变换后与 $v$ 重合，我们看一个在二维空间中的例子，$\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-4\\ -1\end{array}\right]$。

在二位向量空间中，线性变换 $A$ 会有两种情况，一种是 $A$ 保持空间为二维，一种是 $A$ 将空间压缩为更低的维度，以上一节行列式中的内容来说，就是 $\det (A)=0$ 与 $\det (A)̸=0$ 的区别。

我们先来看看一般情况，即 $\det (A)̸=0$。在这种情况下，有且仅有一个向量 $x$ 在经过变换 $A$ 后与 $v$ 重合。我们可以通过逆向变换来找到这个向量 $x$，这里的逆向变换就是所谓的逆变换。我们用 $A^{-1}$ 来表示。$A$ 与 $A^{-1}$ 复合会得到一个什么也不做的矩阵，也就是单位矩阵（由基向量组成的矩阵）。

这个也同样适用于更高维的空间，只要变换的行列式不为零，那就一定有一个唯一的 $x$，使得 $v$ 做逆变换后与 $x$ 重合。

现在考虑第二种情况，就是变换 $A$ 将空间压缩到更低的维度，即 $\det (A)=0$，这种情况下，$A$ 不存在逆变换，因为你不能将一条直线“解压缩为一个平面“。

不过即使 $\det (A)=0$，解也有可能存在，如果 $v$ 刚好在压缩后的直线上。

在前面我们使用行列式等不等于零来判断向量空间是否被压缩，那怎么描述这个压缩的程度呢，我们引入一个新的术语——秩。如果一个变换将空间压缩成一个直线，那么这个变换的秩为1，如果变换后的向量落在二维空间中，那么这个变换的秩为2。所以秩指的的是变换后空间的维数，比如 $2\times 2$ 矩阵最大的秩是2，$3\times 3$ 矩阵最大的秩是3，一个变换的列所张成的空间就是这个变换的列空间，也就是向量空间，所以秩更精确的定义是列空间的维数。当秩为最大值时，即秩等于矩阵的列数，我们称这个矩阵满秩。

对于一个满秩的矩阵来说，唯一一个能在变换后落在原点的只有零向量，但是对于非满秩的矩阵，由于空间被压缩了，可能会有一系列的向量在变换后变成零向量。

三维空间被压缩到二维平面，也有一整条直线上的向量被压缩到原点上。

三维空间被压缩到直线，那会有一整个平面上的向量被压缩到原点上。

在上面提到的，在变换后落在原点的向量集合，被称为矩阵的“零空间”或“核”。回到一开始讲到的问题，在 $\det (A)=0$ 的情况下，只有当 $v$ 为零向量时，线性方程组才有解，而这里提到的“零空间”就是这个线性方程组的解集。