相关函数在数字信号处理中的应用

1 相关函数的定义

设 x(n) 、 y(n) 是两个能量有限的确定性信号，并假定它们是因果的，有

ρxy=∑+∞n=0x(n)y(n)[∑+∞n=0x2(n)∑+∞n=0y2(n)]1/2

ρxy 为设 x(n) 和 y(n) 的相关系数，式中分母等于 x(n) ， y(n) 各自能量乘积的开方，即 ExEy−−−−−√ ，它是一常数，因此 ρxy 的大小由分子 rxy=∑+∞n=0x(n)y(n) 来决定， rxy 也称为 x(n) 和 y(n) 的相关系数。由许瓦兹不等式，由 |ρxy|≤1 。当两种信号完全相等，即 x(n)=y(n) 时， rxy=1 ， ρxy=1 ；；当两个信号在某种程度上相似时， rxy≠0 ， |ρxy| 在0和1之间取值；当两个信号完全无关时， rxy=0 ， ρxy=0 。因此可以用 rxy ， ρxy 来描述 x(n) 和 y(n) 的相似程度。

在数字信号处理中，定义 rxy(m)=∑+∞n=−∞x(n)y(n+m) 为信号 x(n) 和 y(n) 的==互相关函数==。若 x(n)=y(n) ，则 rx(m)=∑+∞n=−∞x(n)x(n+m) 为信号 x(n) ==自相关函数==。

2 相关函数的性质

• 性质1： rx(m) 在 m=0 处取得最大值，即 rx(0)≥rx(m) 。
• 性质2： 若 x(n) 是能量信号，则有 limm→∞rx(m)=0 。
• 性质3： 周期信号的自相关函数也是周期的。

3 相关函数在数字信号处理中的应用

在信号处理中，相关函数的应用很广，主要有信号中隐含周期性的检测，确定未知参数的线性系统的频域响应，噪声中信号中的检测，噪声中信号的提取等。

3.1 相关函数在信号中隐含周期性的检测中的应用

设观测到的信号 x(n) 是由真正的信号 s(n) 和白噪声 u(n) 所组成，即

x(n)=s(n)+u(n)

假定 s(n) 是周期的，周期为M， x(n) 的长度为N，且有 N>>M ，那么 x(n) 的自相关函数为

rx(m)=1N∑n=0N−1[s(n)+u(n)][s(n+m)+u(n+m)]=rs(m)+rus(m)+rsu(m)+ru(m)

式中， rus(m) 和 rsu(m) 是 s(n) 和 u(n) 的互相关，一般噪声是随机的，和信号 s(n) 应是不相关的，这两项应该很小。 ru(m) 是噪声的自相关，由性质1,2可知， ru(m) 主要集中在 m=0 处有值，当 |m|>0 时应衰减的很快。因此，若 s(n) 是以M为周期的，那么 rs(m) 也应是周期的，且周期为M。这样， rx(m) 也将呈现周期性变化，并在 m=0,M,2M 处呈现峰值，从而揭示隐含在 x(n) 中的周期性。

以1770年至1854年每12个月所记录到的太阳黑子出现次数的平均值为例加以说明。对数据直接绘图得到图1，从图1中，不能确定太阳黑子出现的周期。对数据做自相关函数得到图2 ，可知图2形在自相关函数的平均值附近波动，对自相关函数减去平均值再绘图得到图3 ，由图3可以较为清楚地看到自相关函数的峰值位置，自相关函数的周期性也较为明显，可以得出50年约对应4.5个周期，计算出太阳黑子出现的周期约为11年。

3.2 相关函数在确定未知参数的线性系统的频域响应中的应用

对于某一线性系统，对其输入一个功率为1的白噪声序列 u(n) ，记其输出为 y(n) ，计算输入和输出的互相关，

ruy(m)=E[u(n)y(n+m)]=E[u(n)∑k=−∞∞h(k)u(n+m−k)]=∑kh(k)E[u(n)u(n+m−k)]=∑kh(k)ru(m−k)=ru(m)∗h(m)

因为 ru(m) 为一 δ 函数所以 ruy(m)=h(m) 。对 ruy(m) 做傅里叶变换，便可得到 Puy(m)=H(jω) 。

3.3 相关函数在噪声中信号检测的应用

假定测试所得的信号 x(n) 中含有加法性噪声 u(n) ，并且可能含有有用信号 s(n) ，即 x(n)=s(n)+u(n) 。当 s(n) 的先验知识已知时或 s(n) 为周期性函数时，可以利用相关函数法来确定 x(n) 中是否含有 s(n) .

1）当 s(n) 的先验知识已知时，可令 x(n) 和 s(n) 做互相关，有

rsx(m)=E[s(n)x(n+m)]=E[s(n)s(n+m)+s(n)u(n+m)]

一般认为信号和噪声是不相关的，即

E[s(n)u(n+m)]=0

所以 rsx(m)=E[s(n)s(n+m)]=rs(m) ，这样可以根据做互相关的结果是否和 rs(m) 相符来判断 x(n) 中是否含有 s(n) 。

2）当 s(n) 为周期性函数时，可以求 x(n) 的自相关，即：

rx(m)=E[x(n)x(n+m)]=E[s(n)+u(n)]×[s(n+m)+u(n+m)]=rs(m)+ru(m)

若 u(n) 是白噪声，那么 ru(m) 是 δ 函数，当 m≠0 时， ru(m)=0 ，即 rx(m)=rs(m) ，可以根据 rx(m) 的形状来判断 s(n) 的有无。若 u(n) 不是白噪声，但作为噪声，，它应在相当宽的频带内存在，为此，设其功率谱

Pu(ejω)=A1+(Ω/Ωc)2,|ω|≤π

式中， A 为定标常数； ωc 为截止频率，由 Pu(ejω) 可求出 u(n) 的自相关函数

ru(m)=12π∫π−πPu(ejω)ejωmdω=Aωc2e−|ωcm|

这样，只要 ωc 足够大， ru(m) 将随着m的增大很快衰减。即随着m的增大， ru(m) 趋于0.由性质3， rs(m) 应呈周期变化。

3.3 相关函数在噪声信号提取中的应用

在数字信号处理中，往往需要在强噪声信号中提取弱信号，如在复杂电磁环境下各种无线电系统及电子装置中有用信号的提取，在医学中多种生物医学信号（心电图、肌电图、脑电图）等。在强噪声中提取弱信号是一个复杂的课题，本文只对在已知相同信号进行激励下，受激体做出相同响应的弱信号提取进行探讨。假设诱发响应信号 x(n,i) 由真正信号 s(n,i) 所组成，即：

x(n,i)=s(n,i)+u(n,i),i=1,2,3,...,M

式中M代表总的激励次数；i是激励的序号，对每一次激励，受试体都将产生一个响应 x(n,i) 。由于噪声很强，而噪声又是随机的，所以每一次得到的 x(n,i) 都不相同，因此很难就单一的记录来判断 s(n) 的形状。但是，在激励条件相同的情况下，每次的 s(n,i) 都保持不变，即 s(n) 是一个确定性信号： s(n,1)=s(n,2=...=s(n,M)) 。设 u(n) 是零均值，方差为 σ2u 的平稳随机信号，对于每一次激励，它们是互不相关的，即 E[u(n,i)u(n,j)]=0 ,当 i≠j ，若记 s(n) 的功率为P。那么，对每一次激励， x(n,i) 的信噪比为 P/σ2u ，现将 x(n) 的M次记录对应相加，并取平均，有

1M∑i=1Mx(n,i)=1M∑i=1Ms(n,i)+1M∑i=1Mu(n,i)=s(n)+1M∑i=1Mu(n,i)

经过M个样本平均后，信号的功率仍为P，噪声的均值仍为零，但方差变为 σ2u/M ，这样，信号 1M∑Mi=1x(n,i) 的信噪比为

RSN=Pσ2u/M=MPσ2u

比没有经过平均的信噪比提高了M倍。当M足够大时，噪声逐渐减弱，有用信号的特征逐渐突出。假定受激体做出的响应为幅值、相位均不变的正弦信号 s(n) ，噪声 u(n) 为白噪声信号。

4 结论

本文根据相关函数的几条基本性质，简要分析了相关函数在数字信号处理当中的一些应用。由分析可知，相关函数方法简洁，在数字信号处理中，可以方便地对信号的周期性进行检测，确定未知参数的线性系统的频域响应，检测噪声中有用信号，并对噪声中的信号进行提取。