haskell与范畴论总结

这篇文章只会大概解释一下，具体内容需要参考文中提到的连接。Haskell语言学习可以看这个教程，这篇文章不会介绍Haskell语言的具体细节。

范畴论的介绍，这篇东西到functor那里都不错：haskell和category theory

几个概念：

`object`，`morphism`（object之间的态射，函数就是集合元素（object）上的态射），`composition`（函数复合）。id morphism是自己映射到自己的特殊morphism。

Hask是haskell关注的范畴，它是由haskell的所有类型（object）和函数（morphism）组成的。

functor（函子）是两个范畴的关系，它包含两点，（1）将一个范畴的object映射到另外一个范畴的object。（2）将一个范畴的morphism映射到另外一个范畴的morphism。而且要满足两个约束（1）A范畴的id morphism通过functor映射到B范畴的morphism必须是B范畴的id morphism。（2）对于一个范畴的两个morphism f 和 g，还有一个functor F，必须有F(f . g) = F(f) . F(g)，其中 . 表示函数复合。

在haskell中，functor实际上由两部分完成，一部分是typeconstructor（映射对象到对象），另一部分是Functor（映射函数到函数）

class Functor (f :: * -> *) where

    fmap :: (a -> b) -> f a -> f b       -- f 是某个类型的 typeconstructor

然后是natual transformation（自然变换）：看这里的natual transformation部分

A natural transformation natural transformation  is a mapping between functors that preserves the structure of the underlying categories.

因为functor由两部分组成，所以自然变换也由两部分组成：（1）另个范畴之间object的映射。（2）另个范畴之间morphism的映射。而且自然变换需要满足以下两个过程结果等价：（1）一个对象在自己的范畴做映射后，再根据自然变换映射到另外一个范畴。（2）一个对象先根据自然变换映射到另外一个范畴，再做映射（这里的映射也是根据原来的映射进行自然变换得到的），这个约束那篇链接有清晰的解释。

Monad

具体参考

在范畴 X 上的Monad由一个Endofunctor T：X -> X 和 两个自然变换join和unit组成。

unit：Ix -> T （Ix是范畴X上的幺元）

join：T 。T -> T

两个自然变换需要满足一些条件，看上面的“具体参考”。

Monad也可以换到群上面来解释。

Monad是自函子范畴上的一个含幺半群。这个范畴的object是自函子（Endofunctor），它的morphism是自函子上的自然变换。这个含幺半群的集合是自函子，笛卡尔积是自函子复合，二元运算（也就是求笛卡尔积）是自函子复合，二元运算结果的值由 自然变换join：T。T -> T来决定，幺元是自然变换unit（还是identity Endofunctor？现在还没明白）。

stackoverflow上的解释

一个一个来解释。

含幺半群这里不解释，我们大一下的离散数学里面代数系统的部分有学到。

Endofunctor（自函子）：指的是连接两个相同范畴的functor。Haskell的所有functor都是Endofunctor，Haskell的functor是连接Hask到Hask的Endofunctor。

Monad要求在自函子范畴上，至少有两个自然变换，一个是unit：X→M(X)，一个是join：M(M(X))→M(X)。上面M指的是一个functor，具体看回haskell和category theory的monad部分。

同时Monad也可以说是一个functor。它连接两个范畴，一个是identity functor，一个是任何functor（在Haskell中可以是Maybe functor或者List functor）。

对应到Haskell里面，我们拿Maybe来举例。Maybe在Haskell中首先是一个functor（同时也是Endofunctor），它由typeconstructor和Functor typeclass两部分分别实现object之间的映射和函数（morphism）之间的映射。然后Maybe也是一个monad，它连接identity functor和Maybe functor。Maybe的join指明了自然变换中对object的变换。

这里需要理解Self-similarity（自相似）。自相似指整体结构与其局部结构相似。Hask的整体与局部具有自相似性，而functor连接了Hask的整体与局部，使整体所具有的性质能够在局部中使用。