运筹优化（十）--整数规划求解
分支界定法
1．分枝定界法的思想
分枝定界法通过增加附加约束条件，使整数最优解最终成为线性规划的一个极点(顶点)，于是整个问题就可使用单纯形法找到这个整数最优解；对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界的内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界，这称为定界。在每次分枝后，凡是界限不优于已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子集可不予考虑，这称为剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。
下面通过例子说明分枝定界法的步骤。
2．用分枝定界法求解整数规划
例1: 某厂拟购进甲、乙两类机床生产新产品。已知甲、乙机床进价分别为2万元和3万元；安装占地面积分别为4m2和2m2；投后的收益分别为3百元/日和2百元/日。厂方目前仅有资金14万元，安装面积18m2，为使收益最大，厂方应购进甲、乙机床各多少台？
解：设应购进甲、乙机床台数分别为x1和x2，对此问题可建立整数规划数模如下：
（1）去掉约束(4)，用图解法求得对应的松弛问题LP0（松弛问题LP0与原模型的区别：仅不含整数约束，目标函数与其他约束均同。）的最优解（见图1）。
图1
由图1知，松驰问题的最优解为h点：，Z(0)=14.75
由此可知ILP的最优解为：0≤z* ≤ Z(0)*=14.75, 且必为整数，从而可以断言： 0≤z* ≤14。因 x1=3.25 ，x2=2.5非整数解，故选择一个非整数变量分枝，这里选x1，即对 3 ≤ x1 ≤ 4 进行分枝。
（2）对上问题分枝构成两个子问题数模LP1和LP2如下：
子问题数模 LP1 子问题数模LP2
max Z=3x1+2x2 max z=3x1+2x2
（3）对这两个子问题数模用图解法求得最优解分别为 (见图1)：
记Z*为当前最好的整数解，则Z*＝Z(2)＝14
（4）由于Z(1)> =14，对子问题LP1需继续分枝，选择x2分枝得到子问题LP3和LP4如下：
子问题数模LP3 子问题数模LP4
max Z=3x1+2x2 max Z=3x1+2x2
（5）对LP3和LP4两个子问题数模用图解法求得最优解分别为（见2）：
X(3)=(3, 2) T, Z(3)=13
X(4)=(2.5, 3) T, Z(4)=13.5
（6）此时由于所有子问题的目标值均小于或等于Z(2)，故Z* =Z(2)=14。最优解为：
X* =X(2)=(4,1)T , Z * =14
由此可知，例1的最优解是：工厂应购进甲类机床4台，乙类机床1台，可获最大收益为14(百元/日)。
3．分枝定界法的一般步骤
设有最大化的整数规划问题A ，与它相对应的松弛问题为 B。
（1）先不考虑原问题的整数约束，求解相应的松弛问题。用图解法或单纯形法求得最优解，记为 。
（2）若求得的最优解 刚好就是整数解，则该整数解就是原整数规划问题的最优解；否则，对原问题进行分枝寻求整数最优解。
（3）分枝。根据对变量重要性的了解，在最优解中选择一个不符合整数约束条件的xj ，其值为bj ，以[bj]表示小于bj 的最大整数。构造两个约束条件: x≤ [bj]和 x≥[bj]+1分别加入原LP问题形成两个子问题，因为[bj] 与[bj]+1之间无整数，故这两个子集内的整数解必定与原可行解集合整数解一致，这一步称为分枝。
（4）定界。首先判断各个子问题是否存在整数解。若存在，找出目标函数值最大对应的整数解，设为Z*，则A问题的整数解目标函数Z≥Z*，这就是定界。而且分枝过程中，一旦有某个子问题Z≥Z*，则令Z*＝Z。
（5）若存在大于Z*的子问题则需分枝。第（4）步中若不存在整数解，也需继续分枝寻找整数解，并从目标函数值最大对应的子问题先分枝。
（6）若所有子问题的目标值都小于等于Z*，则不需继续分枝，Z*所对应的整数解即为最优解。
割平面法
1．割平面法思想
分枝定界法是对原问题可行解域进行了切割，切割的方法是对取非整数解相邻整数作附加约束，这些附加约束从图解的几何概念上说，是一些相当于切割可行解域的超平面，它们的特点是与坐标轴平行，虽然约束方程简单，但子问题却由于分枝的增多而呈指数增长。为了克服上述缺点，本节介绍的割平面法则采用另一种切割办法，既要切割掉非整数解域，又不希望对原问题进行分枝。
割平面法的基础仍然是用解线性规划的方法去解整数规划问题。首先不考虑变量为整数这一约束条件。但增加线性约束条件(用几何术语，称为割平面)使得从原可行解域中切割掉一部分，这部分只包含非整数解，但没有切割掉任何整数可行解。因此，采用割平面法的关键是如何找到割平面约束方程，使切割后最终得到这样的可行解域，它的一个有整数坐标的极点恰好就是问题的最优解（见图1示）。
2．割平面法的步骤
（1）去掉整数约束，用单纯形法求解。若最优解是整数，停止计算，否则转下一步；
（2）寻求附加约束(割平面方程)；
① 从最优表中抄下非整数解的某个约束方程；
② 将该约束方程的所有系数和常数分解为整数和正真分数之和；
③ 整数项（包括整系数项和整常数项）归写于方程左边，真分数项写于右边；
④ 利用整数约束条件求出割平面方程。
（3）将割平面方程标准规范化后加到约束方程组中求解，如所得最优解仍为非整数，则转到第（2）步继续进行，直到找到最优整数解为止。
现举例来说明割平面法解题步骤。
例1：求下列整数规划模型：
解：（1）去掉整数约束。如果约束条件系数和右边常数不是整数，则需化约束为整，而后才能标准规范化(这是保证所添加的松驰变量均为整数)。如下：
用单纯形法迭代得最终表1。
表1
|
XB |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
b |
|
x2 |
0 |
1 |
1/2 |
-1/2 |
5/2 |
|
x1 |
1 |
0 |
-1/4 |
3/4 |
13/4 |
|
-Z |
0 |
0 |
-1/4 |
-5/4 |
-59/4 |
最优解：X1=13/4，X2=5/2，Z=59/4 为非整数解。
（2）寻找割平面方程。从最优表1中抄下非整数解的约束方程。例如第一个约束方程：
将①式的所有系数和常数分解为整数和正真分数之和，即：
将上式中的整系数项归写于方程左边，真分数项写于右边，即有：
现对②式进行分析：考虑整数约束条件，②式左边为整数，右边的(·)内是正数；为保持方程平衡，所以②式右边必是负数。因此有：
即有：，③式即为割平面方程。
对原数模引入割平面约束，将③式标准规范化（松驰变量x5也必为整数）：加到表1中，用对偶单纯形法求解，求解过程示于表2。
表2
| XB |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
b |
| x2 |
0 |
1 |
1/2 |
-1/2 |
0 |
5/2 |
| x1 |
1 |
0 |
-1/4 |
3/4 |
0 |
13/4 |
| x5 |
0 |
0 |
[-1/2] |
-1/2 |
1 |
-1/2 |
| -Z |
0 |
0 |
-1/4 |
-5/4 |
0 |
-59/4 |
| x2 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
1 |
2 |
| x1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
-1/2 |
7/2 |
| x3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
-2 |
1 |
| Z |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1/2 |
-58/4 |
得最优解为x1=7/2，x2=2，仍为非整数，故又转入第二步求割平面方程。为此从表2中抄下非整数解x1=7/2的约束方程为：，按整数、分数归并原则写成：，考虑整数约束条件，上式左边为整数；为保持方程平衡，因此上式右边必为负数，有：
④式为割平面方程。将④式标准规范化：加到表2中，用对偶单纯形法求解，求解过程如表3所示。得最优解：x1=4，x2=1，Z=56/4=14，为整数最优解，计算停止。
表3
| XB |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
b |
| x2 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
2 |
| x1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
-1/2 |
0 |
7/2 |
| x3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
-2 |
0 |
1 |
| x6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
[-1/2] |
1 |
-1/2 |
| -z |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1/2 |
0 |
-58/4 |
| x2 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
2 |
1 |
| x1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
4 |
| x3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
-4 |
3 |
| x5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-2 |
1 |
| -Z |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
-1 |
-56/4 |
上述过程中找到的两个用决策变量表示的割平面方程分别为：
2x1+2x2≤11
x1+x2≤5
它们的切割过程见图1。由图1可知：
①去掉整数约束，求得最优解为(3.25，2.5)，非整数解。
②第一个割平面方程：2x1+2x2≤11，得最优解为(3.5，2)，非整数解。
③第二个割平面方程：x1+x2≤5，得最优解为(4，1)，整数解。
图1割平面寻优
0-1规划和隐枚举法
当决策变量xi的取值仅为0或1时的规划问题称为0-1型整数规划问题。它是整数规划中的特殊情形，应用很广泛，因此成为整数规划中的一个重要分支。
0–1整数规划虽然可用一般求整数规划的方法求解。但0–1型整数规划是整数规划的一种特例，有自身的特殊解法――隐枚举法。现举例说明。
1. 0－1规划数学模型
例1：某厂拟在A，B，C，D，E五个城市中建立若干产品经销联营点，各处设点都需资金、人力、设备等，需求量以及能提供的利润各处不同，有些点可能亏本，但却能获得贷款和人力等。假设数据已知，见表1，为使总收益最大，问厂方应作何种最优选点决策？
表1
| 资源 城市 |
应投资金 （百万元） |
应投人力 （人） |
应投设备 （套） |
利润 （十万元） |
| A |
4 |
5 |
1 |
4.5 |
| B |
6 |
4 |
1 |
3.8 |
| C |
12 |
12 |
1 |
9.5 |
| D |
-8 |
3 |
0 |
-2 |
| E |
1 |
-8 |
0 |
-1.5 |
| 限制资源 |
20 |
15 |
2 |
|
解：上述各城市是否被选，可用决策变量xj表示(j=1,2,…5)，xj=1表示被选，否则xj=0，根据已知数据可建数模如下：
每个城市都有可能入选和不入选，即xj取值有0或1两种状态；有五个变量，这样的0，1组合就共有25=32个。把每种组合列出，代入约束方程检验是否可行，这是一项很繁琐的工作，并且找出可行组合后还要代入目标函数去比较得出最优解，因此，用枚举法仅对一些小型问题是可行和有效的。当变量个数增多时，组合解个数是按指数规律倍增，用枚举法将会非常困难。
实际上只要我们按目标函数值从优到劣(本例是从大到小)顺序列出组合，逐个检验其可行性，最先满足所有约束方程的组合就是最优解；而劣于最优解的组合即使可行，也不用去列出和检验，这就相当于把枚举法得出的所有非优组合隐去不算了，故称为隐枚举法。
2．隐枚举法求解步骤
（1）变换目标函数和约束方程组
① 价值系数Cj前的符号统一。 在目标要求极大时，统一带负号；求极小时统一带正号。方法是：在不满足上述要求时，用代入目标函数。如例1求极大，x1，x2，x3前符号不满足要求，用代入目标函数和约束方程；
② 按∣Cj∣值从小到大排列决策变量项。上例变换结果如下：
（2）用目标函数值探索法求最优解
组合又满足全部约束条件，则它为最优解；否则，按劣于Z0的组合解方向探索可行解。为此，按公式（1）须由小到大逐项计算组合解的Σ|Cj|值及其相应的Z值，代入约束方程组检查可行性，如全部满足，即为最优解。
目标函数值探索法计算过程示于表2，得最优解为：x1=1-=1，x2=1-=0，x3=1-=1，x4=0，x5=1，即在A，C，E三个城市中设联营点，可获最大收益12.5(十万元)。
表2
分配问题和匈牙利法
在生活中经常遇到这样的问题，某单位需完成n项任务，恰好有n个人可承担这些任务。由于每人的专长不同，各人完成任务 (或所费时间) 不同，效率也不同。于是产生应分派哪个人去完成哪项任务，使完成n项任务的总效率最高(或所需总时间最短)。这类问题称为分派问题(Assignment Problem)。
1．分派问题数学模型
例1：有A、B、C、D四项任务需分派给甲、乙、丙、丁四个人去做，这四个人都能承担上述四项任务，但完成各项任务所需时间如表1所示。问应如何分派任务可使完成任务的总工时最少？试建立基数学模型。
表1
| 任务 人 |
A |
B |
C |
D |
| 甲 |
9 |
17 |
16 |
7 |
| 乙 |
12 |
7 |
14 |
16 |
| 丙 |
8 |
17 |
14 |
17 |
| 丁 |
7 |
9 |
11 |
9 |
解：引入决策变量xij
指派问题的解矩阵应当是每行或每列只能有一个元素为1，其余均为 0 的 n 阶方阵。如例 1的一个解矩阵：
2．匈牙利法原理
分派问题是0-1规划的特例，也是运输问题的特例。虽然分派问题可用整数规划、0-1规划或运输问题的解法去求解，但都很费事。匈牙利数学家柯尼格（D. Konig）提出了一种新颖而又简便的解法，常称为匈牙利法。
匈牙利法是针对目标要求极小问题提出来的。其基本原理是：为了实现目标极小，在系数矩阵元素Cij≥0的条件下，如果能使矩阵具有一组处于不同行又不同列的零元素（C’ij＝0）打上括号（），对应该元素的决策变量xij＝1，未打括号元素对应的决策变量xij＝0，那么目标函数值Z＝为最小，这样的组合解就是最优解。
定理1：从(cij )矩阵的每行(或列)减去或加上一个常数ui(或vj)构成新矩阵(c′ij)，c′ij= cij±(uI+vj )，则对应(c′ij)的(xij)最优解与原(cij )的最优解等价。
证明：如从新矩阵中得到最优解(xij)，则其目标函数值达到极值：其中：K为一常数，故当Z‘达到极值时Z也达到极值。所以(xij）也为原矩阵(cij )的最优解。
利用这个定理，可以使原系数矩阵(Cij)变换成含有很多0元素的新系数矩阵(c′ij)，从而最优解保持不变。
独立的0元素：在系数矩阵(c′ij)中，位于不同行不同列的0元素。
若能在系数矩阵(c′ij)中找出n个独立的0元素,则令解矩阵(Xij)中对应这n个独立0元素的取值为1，其他元素取值为0。将其代入目标函数中得到Z’=0,因C′ij≥0,故它一定是最小值。这就是以(c′ij)为系数矩阵的分派问题的最优解，也就是原问题的最优解。
3．匈牙利法求解步骤
例2：求解例1中的最优解。
（1）变换系数矩阵，使其每行每列都出现0元素。首先每行减去该行最小数，再每列减去该列最小数。
|
（2）进行试分派，寻求最优解
经过上一步变换后，系数矩阵每行每列都已有了0元素，此时需找出n个独立的0元素，为此按下列步骤进行。
① 从只有一个0元素的行(两个或两个以上0元素的行暂时不考虑，跳过去)开始，给这个0元素打上括号（），记作（0），表示对这行所代表的人，只有一种任务可分派。同时划去（0）所在列的其他0元素，记作φ。这表示这列所代表的任务已分派完，不必再考虑别人了。
② 给只有一个0元素的列(两个或两个以上0元素的列暂时不考虑，跳过去)的0元素打括号；然后划去（0）所在行的其他0元素，记作φ。
③ 反复进行①,②两步，直到所有0元素都被打括号和划掉为止。转第⑤步。
④ 若仍有没有打括号或划掉的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，则找有0元素的矩形闭回路，任选一个0元素打括号，破闭回路，直到所有0元素都已打括号或划掉为止。
⑤ 若打括号0元素的数目m等于矩阵的阶数n，那么这分派问题的最优解已得到，否则转第（3）步。
对例1中的系数矩阵变换后，按上面步骤进行试分派，如下：
，
找到了4个独立的0元素，解矩阵如（xij）示。即甲→D，乙→B，丙→A，丁→C。总工时：Z＝7×1＋7×1＋8×1＋11×1＝33。
例3下列系数矩阵出现0元素闭回路，可通过第④步破闭回路求解：
若所有的0元素都已打括号或划掉，但独立的0元素个数小于矩阵阶数，还需下面的第三步继续求解。
（3）用覆盖理论继续求解
定理2：覆盖所有0元素的最少直线条数正好等于已打括号的0元素个数。
方法：作最少的直线覆盖所有0元素。步骤如下：
① 对没有打括号0元素的行打√号；
② 对已打√的行中所有0元素所对应的列打√号；
③ 再对打有√的列中打括号的0元素所对应的行打√号；
④ 重复②,③，直到得不出新的打√号的行、列为止。
⑤ 对没有打√号的行画一横线，已打√号的列画一纵线，这就得到了覆盖所有0元素的最少直线数。
⑥ 在未被直线覆盖的部分中找出最小数，然后未覆盖区所有元素减去这个最小数；而覆盖区的交叉元素加上刚才的最小数，其余元素不变。这样得到新的系数矩阵，它的最优解和原问题相同，转第（2）步。
上面的覆盖理论，主要是为了第⑥步，增加0元素的个数。
例4：下列系数矩阵得打括号的0元素个数小于矩阵阶数，用覆盖理论求最优解。
此时, 得最优解为：
4．非标准指派问题
匈牙利法只适用于符合以下三个条件的分派问题的求解：
① 目标函数为极小型；
② 系数矩阵为方阵；
③ 系数矩阵元素值非负。即：
对于不满足上述三个条件的分派问题应转化为标准指派问题。
（1）当分派问题目标要求极大时，即求，此时，可把求极大型转变为求极小型，利用式：
即：，
再由定理1，矩阵(-Cij)nxn每行均可加上一个常数M(或令Cij中最大元素为M即可)，令：，这时系数矩阵可变换为：这时，bij≥0，B叫C的缩减矩阵。符合匈牙利法的条件。由定理1可知：所得的最小解就是原问题的最大解。
（2）系数矩阵不是方阵，目标仍为Min型问题：系数矩阵化为方阵。
其特点是：m 个人分派做 n 项工作，系数矩阵(Cij)为 m×n 矩阵，m ≠ n 。
①若 m < n ，则增添虚构的 s = n – m 行，补成方阵，但是对应的Cij=0 。
②若 m > n ，则增添虚构的 s = m – n 列，补成方阵，但是对应的Cij=0 。