射影几何基础（一）

前言

这是关于计算机视觉中的多视图几何学的一篇学习记录,在这本书第一次接触到射影几何学，这是和之前所接触的解析几何、古希腊传承的纯粹几何不同，射影几何可以说是链接着各个学科的桥梁，有着惊人的对称性和美

一. R2 空间内的直线

我们从熟悉的解析几何引入今天的话题，一条 R2 平面的直线方程为 ax+by+c=0 ，实际上，决定一条唯一直线的根本就在于 a、b、c 三个的取值，我们把这三个值写成一个向量 x=(a,b,c)T 这时候，我们可以说，每一个直线方程和一个方向的向量是一一对应的：如果一个只想方程可以决定一个向量，那一个向量也一定可以决定一个直线方程。
同样的，如果我们将直线上的任意一个点 (x,y) 增加一维并定义其值为1，即 (x,y,1) 我们同样可以得到一个对应的三维向量，且这个向量和平面上的点也是一一对应的。

鉴于前面提出的两个条件，我们希望将直线和点的关系也能通过向量结合起来
我们有：
如果一个点 x 在一条直线 I 上，那么满足：

xTI=0

注意，这里的直线和点都是使用上文描述的三维向量来表示的，这时候一个点在一条直线上可以转述为它们的内积为0
给定两条直线 I 与 I‘ ，它们的交点为 x ，那么满足：

I×I‘=x

反之 如果存在给定两点 x 与 x‘ ，它们决定的直线为 I ，那么就有：

x×x‘=I

对偶

通过上面的描述，大家是不是发现了一些奇怪的事情，任何直线的表述和点的表述，在公式之中似乎是可以互换的，在这里我们先给出这样一条结论：在射影几何中，任何定理都存在对偶的定理，并且如果该定理正确，其对偶定理也一定正确

R2 空间内的曲线

对任意二次曲线，其在解析几何中的普适公式为：

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0

同样的，增广定义某一点为 x=(x,y,1)T 可以得到二次曲线系数的一个矩阵表示

xTCx=0

C=⎡⎣⎢ab/2d/2b/2ce/2d/2e/2f⎤⎦⎥

那么，多少个点可以确定一条二次曲线呢？
在曲线非退化（满秩序）的情况下，至少需要五个点才能够确定这条条曲线。
另给出：若直线 I 和曲线相切于点 x ，则有 I=Cx
证明如下：
若直线和曲线相切于 x 则有 ITx=0 以及 xTCx=0
则有 IT=xTC
即 I=Cx