4818: [Sdoi2017]序列计数

4818: [Sdoi2017]序列计数

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Description

Alice想要得到一个长度为n的序列，序列中的数都是不超过m的正整数，而且这n个数的和是p的倍数。Alice还希望
，这n个数中，至少有一个数是质数。Alice想知道，有多少个序列满足她的要求。
Input

一行三个数，n,m,p。
1<=n<=10^9,1<=m<=2×10^7,1<=p<=100
Output

一行一个数，满足Alice的要求的序列数量，答案对20170408取模。
Sample Input

3 5 3
Sample Output

33
HINT

Source

鸣谢infinityedge上传

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注意到题目中的 p 很小，那说明这么大的 m 是没用的
用线性筛预处理 m 以内的素数
枚举每个数字， mod p 之后记录到一个数组里面
记 f[i][j] 为前 i 个数字的和为 j 的方案数
转移显然可以矩阵乘法
再统计一个 g[i][j] 含义相同，但是强制每个数字都是非素数
f[n][0]−g[n][0] 就是答案了

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int N = 100;
const int maxm = 2E7 + 233;
const int maxn = 1E6 + 3E5 + 233;
typedef long long LL;
typedef unsigned int u32;
const LL mo = 20170408;

int n,m,p,tot,c[N],d[N],pri[maxn];
u32 mi[32],not_pri[maxm / 32];

inline void Mark(int k) {not_pri[k / 32] |= mi[k % 32];}
inline bool Search(int k) {return not_pri[k / 32] & mi[k % 32];}
inline int Mul(const LL &x,const LL &y) {return x * y % mo;}
inline int Add(const int &x,const int &y) {return x + y < mo ? x + y : x + y - mo;}
inline int Dec(const int &x,const int &y) {return x - y >= 0 ? x - y : x - y + mo;}

struct data{
    LL a[N][N]; data(){memset(a,0,sizeof(a));}
    data operator * (const data &b)
    {
        data c;
        for (int k = 0; k < p; k++)
            for (int i = 0; i < p; i++)
                for (int j = 0; j < p; j++)
                    c.a[i][j] += a[i][k] * b.a[k][j];
        for (int i = 0; i < p; i++)
            for (int j = 0; j < p; j++)
                c.a[i][j] %= mo;
        return c;
    }
}f,g,F,G;

void ksm()
{
    for (int i = 0; i < p; i++)
        F.a[i][i] = G.a[i][i] = 1;
    for (; n; n >>= 1)
    {
        if (n & 1) F = F * f,G = G * g;
        f = f * f; g = g * g;
    }
}

int main()
{
    #ifdef DMC
        freopen("DMC.txt","r",stdin);
    #endif

    mi[0] = 1; cin >> n >> m >> p;
    for (int i = 1; i < 32; i++) mi[i] = mi[i - 1] << (u32)(1);
    for (int i = 2; i <= m; i++)
    {
        int now = Search(i); ++c[i % p];
        if (!now) pri[++tot] = i; else ++d[i % p];
        for (int j = 1; j <= tot; j++)
        {
            int Nex = i * pri[j]; if (Nex > m) break;
            Mark(Nex); if (i % pri[j] == 0) break;
        }
    }
    ++c[1 % p]; ++d[1 % p];
    for (int i = 0; i < p; i++)
        for (int j = 0; j < p; j++)
        {
            int k = (i + j) % p;
            f.a[i][k] = Add(f.a[i][k],c[j]);
            g.a[i][k] = Add(g.a[i][k],d[j]);
        }
    ksm(); cout << Dec(F.a[0][0],G.a[0][0]) << endl;
    return 0;
}