数论小集（2）
数论小集（进阶篇）
1.唯一分解定理
任意一个大于1的正整数都能被表示成若干个素数的乘积且表示方法是唯一的；整理可以将相同素数的合并；可以得到
公式：n = P1^a1 * P2^a2 * …………* Pn^an(P1 < P2 < ……Pn);
用代码求一个数唯一分解后的式子我们可以先打素数表，在一直用质数去除它就行了。
代码：
void Prime()
{
cnt=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(!vis[i])
prime[cnt++]=i;
for(int j=0;j至于唯一分解定理的用处：
1.可以证明a*b=gcd(a,b)*lcm*(a,b)（好像没啥用。。。。）
2.可以降低运算的数量级。大家都知道，数论的题一般规模很大，也许答案不会很大，但在求答案过程中乘着乘着就溢出了，所以产生了许多奇技淫巧来解决这种问题，唯一分解定理就是其中一个。特别是在有不能取余的除法时，可以通过质因子的约分得出答案。
例题：UVA10375
题意是求C（p,q）/C（r，s），保留五位小数，自然是用阶乘来求排列，再唯一分解一下，约个分，美滋滋。
代码：
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=10001;
int e[N],vis[N],prime[N];
int a,b,c,d,cnt;
void Prime()
{
cnt=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(!vis[i])
prime[cnt++]=i;
for(int j=0;j>=1;
}
if(flag) return 1.0/res;
return res;
}
void adde(int num,int d)
{
for(int i=0;i 2.模线性方程（简易）
数论最重要的之一！！
一般形式为解ax≡b（mod n）（注意：“≡”为同余，a≡b（mod n）意为a和b关于模n同余，a-kn=b（k为整数））
则原来的方程可以化为ax-ny=b，这个方程可能有多个解，也有可能无解。而要解决它，没错，就是用扩展欧几里得，所以我们直接用扩欧就可以求出ax0-ny0=gcd(a,n)，
此时只需要利用上次讲的两个结论，来判断是否有解，并且将解转化到题目中限制范围（比如说求非负数解啊）
3.逆元
我们在取模运算中，是没有除法的，但是这怎么能阻止数论发展的脚步，所以数论大佬们就发明了逆元！
对于正整数
和
，如果有
，那么把这个同余方程中
的最小正整数解叫做模的逆元。
和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。
求逆元有以下几种方法：
1.上面的模线性方程就起作用了，既然，那么ax-my=1，当a与m互质时，那我们可以用扩欧求出x，x便是a关于m的逆元了。
，那么ax-my=1，当a与m互质时，那我们可以用扩欧求出x，x便是a关于m的逆元了。
2.费马小定理。费马小定理其实欧拉定理的一个子情况，至于欧拉定理，emm。。。反正带欧拉二字的东西都很厉害
这里只是提一下。咳，回到正题，费马小定理：
假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p），即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。（摘自百度百科）
则可推得：a^(m-1)≡1(mod m)--->a*a^(m-2)≡1(mod m)--->a^(m-2)≡1/a(mod m)
所以我们只需要用快速幂取模就行了。
3.线性推逆元。这个可以去看这个链接点击打开链接，这里我只给出递推式：
inv[i] = ( MOD - MOD / i ) * inv[MOD%i] % MOD
4.除法取模的通用式：ans=(a/b)%mod=a%(m*b)/b;
证明如下：
a/b=k*m+x（x
a=k*b*m+b*x
a%(b*m)=b*x
a%(b*m)/b=x
证得。
代码：
//b/a=b*inv(a)(mod m)
int poww(int base,int b)
{
int res=1;
while(b)
{
if(b&1) res=res*base%m;
base=base*base%m;
b>>=1;
}
return res;
}
void gcd(int a,int b,int& g,int& x,int &y)
{
if(!b) {g=a;x=1;y=0;}
else {gcd(b,a%b,g,y,x);y-=x*(a/b);}
}
int inv1()//线性递推逆元
{
inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
inv[i]=(m-m/i)*inv[m%i]%m;
}
int inv2()//扩展欧几里得求逆元
{
int x,y,g;
gcd(a,m,g,x,y);
return x;
}
int inv3()//费马小定理求逆元
{
return poww(a,m-2)%m;
}
int inv4(int a,int b)//取余除法通用法
{
//ans=a/b(mod m)
ans=a%(m*b)/b;
} 以上算法各有所长，也有各有各的缺点，如扩欧和费马小定理只能在m为质数才行。
4.卢卡斯定理
卢卡斯定理用于较大的组合数取模，有：
Lucas定理：我们令
n=sp+q , m=tp+r
.
（q ，r ≤p）p为素数
那么：
一般来讲，使用这个定理一般是在n，m特别大，而p比较小的时候，对于n，m小于p时，我们需要打阶乘表，用组合数的基础算法来求，其余情况在代码实现时只需要一直递归就行了。
代码：
#include
#include
#include
#define LL long long
using namespace std;
LL mod,n,m;
LL fac[10001];
void factor(){
fac[0]=1;
for(LL i=1ll;i<=mod;i++)
fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;
}
LL poww(LL base,LL b)
{
LL res=1ll;
while(b)
{
if(b&1) res=(res*base)%mod;
base=(base*base)%mod;
b>>=1;
}
return res;
}
LL C(LL x,LL y){
if(y>x) return 0;
return (fac[x]*poww(fac[y]*fac[x-y],mod-2))%mod;
}
LL lucas(LL x,LL y){
if(y==0) return 1ll;
return (C(x%mod,y%mod)*lucas(x/mod,y/mod))%mod;
}
int main()
{
//freopen("a.in","r",stdin);
scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&mod);
factor();
printf("%lld",lucas(n,m));
return 0;
}
没错，这次大部分都是和取模有关的，取模可是重中之重，难上加难。。反正咸鱼脑子现在都还记不全逆元算法。。。