莫比乌斯反演定理推导

已知

F(n)=∑d|nf(d)

求证:

f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)

(d|n代表d是n的因数)
其中 μ(d) 为莫比乌斯函数，定义如下：
(1)若 d=1 则 μ(d)=1 ;
(2)若 d=p1p2...pk,pi 为互异素数，那么 μ(d)=(−1)k
(3)其它情况下 μ(d)=0

求证之前先证明 μ(d) 的一个性质
对于任意正整数n有:

∑d|nμ(d)={1,0,n=1n>1

证明:
①当n=1时,显然成立
②当 n≠1时,将n分解为n=pa11pa22pa33...pakk
在 n 的所有因子中, μ 值不为零的只有所有质因子次数都为1的因,其中质因数个数为 r 个的因子有 Crk 个,那么:

∑d|nμ(d)=C0k−C1k+C2k...(−1)kCkk=∑i=1k(−1)iCik

有二项式定理

(x+y)k=∑i=1kCikxiyk−i

将 x=−1,y=1 带入期中,可得

0=∑i=1k(−1)iCik

证得:

∑d|nμ(d)={1,0,n=1n>1②

莫比乌斯反演定理推导

∑d|nμ(d)F(nd)=∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)

∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)=∑d|nf(k)∑d|nkμ(d)②

我认为②最难理解了,可以这样理解,两重for循环求解 f(k)∗μ(d)
交换循环上限不影响结果.
因为k是 nd 的因子,所以存在一个整数p使 p∗k∗d=n ,所以枚举 nd 和 nk 效果是一样的;
在②中,对于

∑d|nkμ(d)

当且仅当 nk=1 时,

∑d|nkμ(d)=1

所以:

∑d|nf(k)∑d|nkμ(d)=f(n)

所以:

∑d|nμ(d)F(nd)=f(n)

证毕.