a^b

题目描述

求 a 的 b 次方对 p 取模的值。

样例

输入
3 2 7
输出
2
解释
3^2 % 7 = 9 % 7 = 2

分析

按照朴素算法就是把$a$连乘$b$次，这样一来时间复杂度是$O(b)$也即是$O(n)$级别，快速幂能做到$O(logn)$。

$a^b$，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为$2^{i-1}$，例如当$b==11$时，$a^{11}=a^{(2^0+2^1+2^3)}$。

$11$的二进制是$1011$，$11=2^3\times 1+2^2\times 0+2^1\times 1+2^0\times 1$，因此，我们将$a^{11}$转化为算 $a^{2^0}{a}^{2^1}{a}^{2^3}$ 。

由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具： & 和 $>>$ ，&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1$==0$为偶，x&1==1为奇。$>>$运算比较单纯,二进制去掉最后一位 。

代码

#include <iostream>

using namespace std;
//快速幂
 
int main(){//把b拆成二进制表示 
    int a, b, p;
    cin >> a >> b >> p;
    int res = 1 % p;
    while(b){
        if(b&1) res = res * 1ll * a % p;
        //对指数b进行二进制拆分，只有二进制位为1的位是有用的位 
        a = a * 1ll * a % p;
        b >>= 1; //把b的二进制个位去掉 
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}