哈夫曼树学习小记

B组又现我不会的神奇东西了……

定义：

现在有n个元素，每个元素有一个值。
你需要把这n个元素放在一棵二叉树的叶子节点上，规定每个元素的代价为它所在叶子节点的深度乘上它的值，哈夫曼树就是使总代价最小的这样一棵树。

运用：

据说哈夫曼树是一棵最佳判定树，什么意思呢？举一个实例来看看。

问题：

给出一群学生的成绩，要你判断每个学生的成绩情况（不同分数段有不同的评价）。

解法：

这是一道信息学入门题，一贯的做法是打一坨if。

理论上当然是O（n）的，因为判断非常少，但是假设分数段非常非常多，我们知道最坏情况要把每个if都走一遍，在大数据中这非常慢。

然而事实上成绩的分布并不是均匀的，有些分数段人多，有些分数段人少，我们可以通过改变if的先后顺序来起到优化的目的。

举个例子，下面的图片盗自这里。

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第一种构造方式：

第二种构造方式：

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所以如果我们预先抽取一些数据知道了各个分数段的频数，把频数看作权值，建一棵哈夫曼树，按照哈夫曼树的顺序去判断，就可以大大优化时间。

构造：

首先需要明白的是，权值越大的深度肯定要越低，这个贪心显然。

动态规划做法：

先对元素从大到小排序。
设 fi,j 表示现在已经做了前i个元素，还空出来j个叶子节点的最小代价。
第一种转移显然，就是把第i+1个元素放到一个叶子节点上， fi+1,j−1=fi,j 。
第二种转移就是把当前剩下的叶子节点都再生成出两个节点来,代价是把当前的剩下元素全部加深了一层，所以 fi,2∗j=fi,j+∑nk=i+1ak 。
Ans=min(fn,k)

贪心做法：

就和合并果子一毛一样，一开始有n堆果子，每堆果子的大小是元素的值。每次选最小的两堆果子合并，直到剩下一堆果子。每次合并可以看作将两堆果子上的元素深度加一，和dp做法不同的是，这是倒着做的，先确定了权值小的元素，然后将它们不断加深，自己感受一下即可。
哈夫曼树的代价就是合并果子的代价。

用个堆维护是O(n log n)的。

Code：

#include
#include
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
using namespace std;

const int N = 100005;

multiset<int> s;

int T, n, a[N];
long long sum;

int main(){
    for(scanf("%d", &T); T; T --) {
        s.clear();
        sum = 0;
        scanf("%d", &n);
        fo(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]), s.insert(a[i]);
        fo(i, 1, n - 1) {
            int x = *s.begin();
            s.erase(s.begin());
            int y = *s.begin();
            s.erase(s.begin());
            sum += x + y; s.insert(x + y);
        }
        printf("%lld\n", sum);
    }
}