二元关系幂运算的一点小思考

给定一有限集 A ，有一定义在 A 上的二元关系 R ，求能使 、……、 两两不相同的R 是否存在。

显然，存在这样的 R 使得题目要求满足。

我们不妨定义一个概念：简单环（记为 C ）

简单环定义如下：

1. 
2. ，此时，最小的 T ， 为 C 的最小正周期。
3. 
4. 

不妨记 为 C 的长度，C 的长度为 C 的势。

记 为 C 中元素的数量，也即 。

易证， = 。（此处不做证明，此后直接用作 |C| 表示双重含义 ）

 

首先，若 ，易证 。

故 R 至少含有一个简单环。

易证，当 R 仅为一个简单环时，R 的幂是周期性变化的，最小正周期为 |C| 。

因此，R 不能仅为一简单环。

 

此时，我们考虑 。

为方便此后叙述，我们定义

当 时，易证，周期T 为 。

当 时，通过归纳总结，我们可以较容易地猜想：

周期 T 为 。

但是，对于，此时的 n 反而更难确定。

通过简单地归纳总结，我们也可以同样发现，此时 n 的最小可行值满足如下规律：

故可得，

 

对于更复杂的情况，此处不做更多讨论，仅希望能提供给大家一个解决此类问题的思路。