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量化Quantify
量化,用量词来进行修饰限制对象。
逻辑学最常用的是全部∀(倒写的A,即All),存在∃(反写的E,即Exists)。
量化,可以解决一些无限但重复的问题,比如:
1×2=1+1,2×2=2+2,3×2=3+3,4×2=4+4,...100×2=100+100...
可以简化表示为
`对全部n来说n×2=n+n或者表示为
对于以下命题:
小明的朋友都喜欢唱歌或跳舞
以小代表小明的一个朋友,以大代表小明的所有朋友,以表示跳舞,表示朋友喜欢跳舞,同样表示朋友喜欢唱歌。那么上面的命题可以表述为:
就是说对于集合X中的任意一个朋友,或至少有一个为真。其中表示析取,即只要和有一个成立即可。
命题逻辑Propositional Logic
有时也叫零阶逻辑Zeroth-order logic,命题中不包含量词或变量,但可以有条件和推理。
比如下面的推理:
前提1:如果下雨,就是阴天。
前提2:下雨了。
结论:是阴天
用表示下雨,表示阴天,那么这个可以简写为:
用表示推导出,可以进一步简写为:
谓词Predicate
谓词可以当做一个返回真假布尔值的函数,比如brothers(tom,mike)
表示tom和mike是否为兄弟,结果为是True或否Flase,这里brothers就是谓词函数。
一阶逻辑First-order Logic
一阶逻辑可以包含谓词和量化。
例如,对于苏格拉底是哲学家
和柏拉图是哲学家
这两句,命题逻辑认为它们是没有关系的,但在一阶逻辑中,它们具有a是哲学家
这样的相同结构,这是因为在一阶逻辑中可以识别谓词是哲学家
这个返回真假的函数。
对于如果a是哲学家,那么a是学者
这句,包含了假设,它的谓词是是一个哲学家
和是一个学者
。
亚里士多德的经典三段论可以表示成一阶逻辑:
大前提:所有人都会死
小前提:小明是人
结论:小明会死
表示成逻辑符号公式为:
一阶逻辑最常用的量词就是全称量词和存在量词
高阶逻辑HOL,Higher-order Logic
一阶逻辑只能量化对象,不能量化谓词,而高阶逻辑可以对谓词进行量化。
例如任意、,如果和相等,那么对于任意性质,都有与相等,这句话就无法用一阶逻辑表达,因为对任意性质这一条谓语无法用一阶逻辑进行量化。
上面这句话用高阶逻辑表达的就是:
在编程中经常把函数(或函数指针)当做参数传递的现象,本质也是高阶函数的体现。
更多逻辑符号
表示否定,例如双重否定等于肯定表示为:。
表示合取,即必须二者都为真那么合取后才为真,例如对于自然数n有
表示异或,即两者有且只有一者为真时异或后才为真,比如永远为真,则永远为假。
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